Измерение физических величин. Погрешности

Особенность физики в том, что объекты её изучения обладают количественными характеристиками. Их называют физическими величинами: скорость, сила, давление, температура, электрический заряд и т. д.

Благодаря возможности получать количественные значения мы можем точно предсказывать события. Если бы мы не умели измерять температуру тела, то не смогли бы ответить, когда закипит вода. Умея измерять, отвечаем без труда: вода закипит при $100$ °C (при нормальном атмосферном давлении). Следя за температурой, мы можем предсказать момент закипания.

Чтобы из наблюдений сделать общие выводы и найти причины явлений, нужно установить количественные зависимости между величинами. Если такая зависимость найдена, говорят, что открыт физический закон. Это избавляет от необходимости проводить опыт в каждом отдельном случае.

• Физическая теория обобщает и систематизирует экспериментальные данные, выявляет закономерности, объясняет физические явления. Общих законов и фундаментальных теорий сравнительно немного, но они охватывают огромную совокупность явлений.
• К фундаментальным теориям относятся классическая механика, молекулярно-кинетическая теория, термодинамика, электродинамика, квантовая механика.
• Теория не только объясняет наблюдаемые явления, но и предсказывает новые. Менделеев по Периодическому закону предсказал несколько новых элементов; Максвелл на основе своей теории предсказал электромагнитные волны и давление света.
• Фундаментальные связи могут быть установлены только на основе эксперимента.

Измерить физическую величину — значит сравнить опытным путём её значение с эталоном этой физической величины. Для измерения используют специальные средства измерения: линейка — для длины, секундомер — для времени, термометр — для температуры, амперметр — для силы тока, вольтметр — для напряжения.

• Единицы величин задаёт Международная система единиц (СИ), принятая в $1960$ г. на XI Генеральной конференции по мерам и весам.
• В СИ семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, кандела, моль (и две дополнительные: радиан, стерадиан). Остальные единицы — производные, их образуют из основных.
• Кратные и дольные единицы образуют с помощью приставок (кило-, мега-, милли-, микро- и др.).

Измерение называют прямым, если значение величины определяют непосредственно из опытных данных с помощью измерительных приборов. Примеры: промежутки времени, длина, температура, масса.

При косвенном измерении значение величины находят на основании известной зависимости между ней и другими величинами, определёнными прямыми измерениями, то есть вычисляют по формуле.

При измерении из-за несовершенства методов и средств измерения, изменяющихся внешних условий мы получаем не истинное значение величины, а её приближённое значение. Поэтому измерение можно считать завершённым лишь тогда, когда указано не только значение величины, но и возможное отклонение от истинного значения — погрешность измерения.

По форме числового выражения различают два вида погрешности: абсолютную и относительную.

Абсолютная погрешность $\Delta x$ измерения — величина возможного отклонения измеренного значения $x_{\text{изм}}$ от истинного. Она выражается в единицах измеряемой величины и определяет границы интервала, в котором с большой вероятностью находится истинное значение $x$.

Относительная погрешность $\varepsilon$ измерения — безразмерная величина, равная отношению абсолютной погрешности к измеренному значению величины.

• Относительная погрешность показывает качество измерения: $\Delta x = 1$ мм на длине $10$ м — отличное измерение, на длине $5$ мм — плохое.
• Часто её выражают в процентах.

Эти правила в учебнике не прописаны — это принятый в заданиях ЕГЭ подход. Прямое измерение по шкале прибора: если иное не сказано, абсолютная погрешность равна цене деления шкалы.

• Запись результата: $(x \pm \Delta x)$ с единицей. Погрешность — одна значащая цифра, а значение округляют до того же разряда: $(0{,}100 \pm 0{,}005)$ мм, а не $(0{,}1 \pm 0{,}005)$.
• Если величину делят на точное число (число листов, колебаний, деталей), на то же число делят и погрешность: $\Delta(x/N) = \Delta x / N$. Так измеряют малую величину: толщину листа — по пачке, период — по $N$ колебаниям.
• Если на точное число умножают (или берут $\rho \cdot V$ с точной $\rho$), погрешность умножается так же: $\Delta(kx) = k\Delta x$.
• Если делят две измеренные величины с погрешностями, относительные погрешности складываются: $\varepsilon = \varepsilon_1 + \varepsilon_2$.
• Приборная погрешность иногда задана в процентах от предела шкалы: $\Delta x = \varepsilon \cdot x_{max}$.

1. Делим значение и погрешность на точное число листов: $h = \dfrac{50}{500} = 0{,}1$ мм, $\Delta h = \dfrac{1}{500} = 0{,}002$ мм.
2. Результат $(0{,}100 \pm 0{,}002)$ мм — вариант 3.

1. $h = \dfrac{20}{200} = 0{,}1$ мм; $\Delta h = \dfrac{1}{200} = 0{,}005$ мм.
2. Погрешность имеет разряд тысячных, значит и значение пишем до тысячных: $0{,}100$.

1. Период — время одного колебания: $T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{22{,}0}{20} = 1{,}1$ с.
2. Погрешность тоже делим на $N$: $\Delta T = \dfrac{0{,}2}{20} = 0{,}01$ с. Это и есть смысл измерения по многим колебаниям: погрешность секундомера делится на $N$.

1. Переводим в граммы: $2{,}79$ кг $= 2790$ г.
2. $m = \dfrac{2790}{15} = 186$ г; $\Delta m = \dfrac{30}{15} = 2$ г.

1. Плотность задана точно, поэтому $m = \rho V$ и $\Delta m = \rho\Delta V$.
2. $m = 0{,}8 \cdot 15{,}0 = 12$ г; $\Delta m = 0{,}8 \cdot 0{,}5 = 0{,}4$ г. Записываем $12{,}0 \pm 0{,}4$: значение до того же разряда, что и погрешность.

1. Время считаем точным, значит $\Delta v = \dfrac{\Delta S}{t}$.
2. $v = \dfrac{150}{10{,}00} = 15$ см/с; $\Delta v = \dfrac{1}{10{,}00} = 0{,}1$ см/с.

1. Ток по закону Ома: $I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{9}{3} = 3$ А — прибор покажет это значение.
2. Погрешность считаем от конца шкалы: $\Delta I = 0{,}02 \cdot 10 = 0{,}2$ А. Показание: $(3{,}0 \pm 0{,}2)$ А.

1. Мощность $P = I^2R$; ток точен, значит $\Delta P = I^2\Delta R$, то есть относительная погрешность мощности та же, что у $R$: $10\,\%$.
2. $P = 0{,}1^2 \cdot 2000 = 20$ Вт; $\Delta P = 0{,}1 \cdot 20 = 2$ Вт.

• Физическая величина измеряется сравнением с эталоном; единицы задаёт СИ.
• Прямое измерение — по прибору; косвенное — по формуле из прямых измерений.
• Результат измерения без погрешности не завершён: $x = (x_{\text{изм}} \pm \Delta x)$.
• Абсолютная погрешность $\Delta x$ — в единицах величины; относительная $\varepsilon = \Delta x / x_{\text{изм}}$ — безразмерная, часто в процентах.
• Истинное значение лежит в доверительном интервале $x_{\text{изм}} - \Delta x \leqslant x \leqslant x_{\text{изм}} + \Delta x$.
• В ЕГЭ №19: при делении на точное число $N$ значение и погрешность делятся на $N$; погрешность — одна значащая цифра.