Числа и их свойства
Делимость, цифры, оценка плюс пример
Никольский «Алгебра 7–9», делимость
Суть
- Структура №20: пункты а) пример, б) доказательство невозможности, в) наибольшее/наименьшее. Пункт а) часто добывается прямым подбором — не бойтесь перебора.
- Делимость: на 3 и 9 — по сумме цифр, на 4 — по двум последним цифрам, на 5 — по последней. Чёт/нечет — первый инструмент доказательства невозможности.
- Запись числа цифрами: двузначное ab=10a+b; сумма и перестановки цифр анализируются через такую запись.
- Схема «оценка + пример» в пункте в): доказать, что лучше некоторого значения быть не может (оценка), и предъявить пример, где оно достигается. Обе половины обязательны.
- Остатки: любое целое имеет вид 3k, 3k+1 или 3k+2 — разбор по остаткам закрывает большинство доказательств «не может быть».
Типичные ошибки
- В пункте в) дают пример без оценки или оценку без примера — половина балла теряется.
- «Проверил несколько случаев — значит всегда» — перебор без обоснования полноты не доказательство.
- Забывают, что ноль не может быть первой цифрой числа.
Разобранные примеры
Найдите наименьшее натуральное число, которое делится и на 5, и на 6, а сумма его цифр равна 15.разбор
- Делится на 5 и на 6 — значит делится на 30, то есть оканчивается нулём и делится на 3.
- Перебираем кратные 30 и смотрим сумму цифр: 390→12, 480→12, 570→12, 660→12.
- 690: сумма 6+9+0=15 — подходит. Меньших с такой суммой среди кратных 30 нет.
Найдите сумму цифр числа 210.разбор
- 210=1024.
- 1+0+2+4=7.