Задачи с параметром

Графический метод в задаче 19

Никольский «Алгебра 10–11»

Суть

План: преобразовать так, чтобы параметр остался в ОДНОЙ части, — слева фиксированная кривая, справа семейство (обычно прямые или окружности).
Семейство $y = a$ — горизонтальные прямые: число решений — сколько раз горизонталь режет график. Ответ читается по высотам экстремумов.
Семейство $y = kx + a$ — параллельные прямые; критические положения — касание кривой и прохождение через угловые/граничные точки.
$x^2 + y^2 = a^2$ или $|x| + |y| = a$ — окружности/ромбы с растущим радиусом; критические положения — касание внутренней фигуры.
Уравнения с модулем — график по кускам: $y = |f(x)|$ отражает низ вверх; $y = f(|x|)$ зеркалит правую половину налево.
Проверить картинку можно в МатЛабе: графопостроитель со слайдером $a$ показывает всё семейство живьём.

Типичные ошибки

Пропускают критические положения касания — их находят через дискриминант или расстояние до центра.
Неточно строят график с модулем — сначала базовый график, потом отражение.
Считают решения на рисунке и забывают про граничные значения $a$ (включать или нет — проверять отдельно).

Разобранные примеры

При каких

a

прямая

y=a

имеет ровно одну общую точку с окружностью

x^2+y^2=4

?разбор

Окружность радиуса $2$ с центром в начале координат; $y=a$ — горизонтальная прямая.
Одна общая точка бывает только при касании: сверху $a=2$ , снизу $a=-2$ .
При $-2<a<2$ точек две, при $|a|>2$ — ни одной.

Ответ:

a=\pm2

Сколько решений имеет система

y=|x|

y=a

при

a=3

?разбор

Ответ:

2

решения