Задачи с параметром
Параметр: три подхода
Никольский «Алгебра 10–11»
Суть
- Параметр — это семейство задач: для каждого a своё уравнение. Ответ — множество значений a с требуемым свойством (число решений, состав корней).
- Подход 1, аналитический: решать как обычно, следя за особыми случаями (старший коэффициент нулевой, D по знаку, ОДЗ).
- Подход 2, графический: построить графики левой и правой части, a двигает один из них — считать точки пересечения по положениям.
- Подход 3, симметрия: если система не меняется при замене x→−x, то при единственном решении обязательно x=0 — необходимое условие, потом проверка достаточности.
- Квадратное уравнение с параметром: случай a=0 (уравнение становится линейным) разбирается ОТДЕЛЬНО и всегда.
Типичные ошибки
- Теряют случай нулевого старшего коэффициента.
- Делят на выражение с параметром без разбора его нуля.
- Находят необходимое условие из симметрии и забывают проверить достаточность подстановкой.
Разобранные примеры
При каком значении a уравнение x2−2x+a=0 имеет ровно один корень?разбор
- Один корень у квадратного уравнения — когда дискриминант равен нулю.
- D=4−4a=0, значит a=1.
Сколько корней имеет уравнение ∣x∣=a в зависимости от a?разбор
- Модуль неотрицателен, поэтому при a<0 корней нет.
- При a=0 единственный корень x=0.
- При a>0 два корня: x=a и x=−a.
Ответ:
a<0 — нет; a=0 — один; a>0 — два