Экономическая задача

Кредиты: аннуитет. Вклады и оптимизация

Прототипы ФИПИ, банк ЕГЭ

Суть

Аннуитетная схема — равные платежи $X$ . Механика года: долг умножается на $k = 1 + \dfrac{r}{100}$ , затем вычитается $X$ .
Два года: $(Sk - X)k - X = 0 \Rightarrow X = \dfrac{Sk^2}{k+1}$ . На больший срок — раскрывать последовательно, суммируя степени $k$ (геометрическая прогрессия).
Маркер схемы: «платёж один и тот же», «выплатил равными платежами».
Вклады — та же механика без вычитания: умножение на $k$ каждый год, пополнения прибавляются в свой момент.
Задачи оптимизации (максимальная прибыль): составить функцию от переменной, исследовать производной или как квадратичную по вершине; ответ — в единицах вопроса (рубли, штуки, процент).

Типичные ошибки

Смешивают схемы: считают аннуитет как дифференцированный или наоборот — сначала определить схему по маркеру.
Ошибка порядка операций: сначала проценты, ПОТОМ платёж.
В оптимизации находят точку максимума, но не отвечают на вопрос задачи (например, прибыль, а не объём).

Разобранные примеры

Вклад

100\,000

рублей положен под

10\%

годовых с капитализацией на

2

года. Сколько будет на счёте?разбор

Каждый год сумма умножается на $1{,}1$ .
$100\,000\cdot1{,}1^2=100\,000\cdot1{,}21=121\,000$ .
Это не $100\,000+20\,000$ : во второй год проценты идут и на проценты первого года.

Ответ:

121\,000

рублей

Кредит

210\,000

рублей под

10\%

годовых гасится двумя равными ежегодными платежами. Найдите платёж.разбор

Пусть платёж $X$ . После первого года долг: $210\,000\cdot1{,}1-X=231\,000-X$ .
После второго: $(231\,000-X)\cdot1{,}1-X=0$ .
$254\,100-1{,}1X-X=0$ , значит $2{,}1X=254\,100$ и $X=121\,000$ .
Проверка: $231\,000-121\,000=110\,000$ ; $110\,000\cdot1{,}1=121\,000$ — гасится в ноль.

Ответ:

121\,000

рублей