Планиметрия, часть 2

Задача 18: доказательство плюс вычисление

Атанасян «Геометрия 7–9»

Суть и методы

Структура: а) доказать факт, б) вычислить. Пункт б) обычно опирается на а) — доказанный факт применяется в вычислении.
Рабочий набор доказательств: подобие (два равных угла), вписанные углы на одну дугу, свойства касательных, четыре точки на окружности (суммы противоположных углов $180°$ ).
Подобие — центральный инструмент: отношения сторон, отношение площадей $k^2$ ; секущие и хорды: $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ .
Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим: $\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB}{AC}$ .
Вписанная окружность: $S = pr$ ; описанная: теорема синусов $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ .
Большой правильный чертёж — половина решения: отмечайте равные углы дужками, ищите пары подобных треугольников глазами.

Типичные ошибки

В пункте б) используют факт из а) без слов «по доказанному» — и теряют логическую связку в оформлении.
Записывают подобие с неверным порядком вершин — отношения сторон перепутаны.
Рисуют вырожденный чертёж (равнобедренный вместо произвольного) и «видят» лишние свойства.

Разобранные примеры

Катеты прямоугольного треугольника равны

6

8

. Найдите радиус описанной окружности.разбор

Гипотенуза: $\sqrt{36+64}=10$ .
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
$R=\dfrac{10}{2}=5$ .

Ответ:

5

Докажите, что в параллелограмме противоположные углы равны, и найдите все углы, если один из них равен

70^\circ

.разбор

Доказательство: диагональ делит параллелограмм на два треугольника, равных по трём сторонам; равные углы лежат против равных сторон.
Соседние углы дают в сумме $180^\circ$ как односторонние при параллельных прямых.
Углы: $70^\circ$ , $110^\circ$ , $70^\circ$ , $110^\circ$ .

Ответ:

70^\circ,\ 110^\circ,\ 70^\circ,\ 110^\circ