Окружность: степень точки и вписанный четырёхугольник

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Треугольники $APC$ и $DPB$ подобны по двум углам: вертикальные углы при $P$ и вписанные углы на одну дугу.

Из подобия $\dfrac{AP}{DP}=\dfrac{CP}{BP}$ — это и есть равенство произведений.

Две секущие из одной точки: $MA\cdot MB = MC\cdot MD$.

Две касательные из одной точки равны, и центр лежит на биссектрисе угла между ними.

Всё это — одно свойство, «степень точки»: произведение не зависит от выбранной прямой.

Доказать, что четыре точки лежат на одной окружности, — половина задачи на доказательство.

Часто удобнее показать равенство углов, опирающихся на один отрезок: тогда точки лежат на окружности.

Теорема Птолемея: для вписанного четырёхугольника $AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD$.