Площади: Герон, вписанная и описанная окружности

Полупериметр обозначают $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ — он входит сразу в две формулы ниже.

Для параллелограмма со сторонами $a$, $b$ и углом $\gamma$: $S = ab\sin\gamma$.

Синус тупого и смежного ему острого угла равен: $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$.

Сначала вычисляют $p$, потом три разности — они часто оказываются целыми.

Если под корнем получилось отрицательное число, треугольника с такими сторонами не существует.

Для египетского треугольника $3,4,5$: $p=6$, $S=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=6$.

Отсюда $r = \dfrac{S}{p}$ и $R = \dfrac{abc}{4S}$.

Для прямоугольного треугольника проще: $R = \dfrac{c}{2}$ и $r = \dfrac{a+b-c}{2}$.

По теореме синусов $\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R$ — ещё один способ найти $R$.

Общая высота — площади как основания; общее основание — как высоты.

У подобных треугольников площади относятся как $k^2$.

Если у треугольников равен угол, площади относятся как произведения сторон при этом угле.