Планиметрия: теоремы для задания 18
Отношения отрезков: биссектриса, медианы, Менелай и Чева
Атанасян, Прасолов «Задачи по планиметрии»
1
Что нужно помнить из 7–9 класса
Медиана делит сторону пополам, биссектриса делит угол пополам, высота перпендикулярна стороне. Дальше — свойства, которых в основной школе не было.
+Короткое напоминание2
Чевиана — любой отрезок от вершины до точки на противоположной стороне.
Медиана, биссектриса и высота — частные случаи чевианы.
2
Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон
Это первое, что стоит проверить, если в условии есть биссектриса и просят отношение отрезков.
LCAL=BCABBL — биссектриса угла B, точка L лежит на стороне AC +Как этим пользоваться3
Отношение берут по сторонам, ПРИЛЕЖАЩИМ к делимой стороне, а не по любым двум.
Длину биссектрисы можно найти так: BL2=AB⋅BC−AL⋅LC.
Биссектриса внешнего угла делит продолжение стороны в том же отношении.
3
Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки
Параллельные прямые режут секущие на пропорциональные части. Это основной способ получить отношение, когда подобия на чертеже не видно.
A1A2OA1=B1B2OB1A1B1∥A2B2, обе точки лежат на сторонах угла с вершиной O +Как этим пользуются3
Частный случай — сама теорема Фалеса: равные отрезки на одной секущей дают равные и на другой.
Обратная теорема доказывает ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ: если отношения равны, прямые параллельны.
Отсюда же следует свойство средней линии: она отсекает половины.
4
Медианы: точка пересечения делит в отношении 2 : 1
Три медианы пересекаются в одной точке — центроиде. Считая ОТ ВЕРШИНЫ, она делит каждую медиану как 2:1. MA1AM=12M — точка пересечения медиан, AA1 — медиана из вершины A +Что ещё дают медианы3
Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.
Длина медианы: ma2=42b2+2c2−a2.
Отношение 2:1 считают от вершины: перепутать направление — типичная потеря балла.
5
Теорема Менелая: прямая пересекает стороны
Прямая пересекает прямые AB, BC, CA в точках C1, A1, B1. Тогда произведение трёх отношений равно единице. C1BAC1⋅A1CBA1⋅B1ACB1=1обход по кругу: из вершины в точку, из точки в следующую вершину +Где легко ошибиться3
Секущая обязательно проходит вне треугольника хотя бы через одну точку: либо две точки на сторонах и одна на продолжении, либо все три на продолжениях.
Отношения записывают, обходя треугольник в одном направлении, — иначе произведение перевернётся.
Теорема работает и в обратную сторону: если произведение равно 1, три точки лежат на одной прямой.
6
Теорема Чевы: три чевианы в одной точке
Отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда произведение тех же трёх отношений равно единице. C1BAC1⋅A1CBA1⋅B1ACB1=1формула та же, что у Менелая, — различается конфигурация +Чем Чева отличается от Менелая3
Произведение одинаковое. Отличается то, о чём речь: у Менелая — три точки на ОДНОЙ ПРЯМОЙ, у Чевы — три отрезка через ОДНУ ТОЧКУ.
Проверка на глаз: если в условии секущая — Менелай; если три чевианы сходятся — Чева.
Медианы дают произведение 1⋅1⋅1 — отсюда сразу следует, что они пересекаются в одной точке.
Разобранные примеры
В треугольнике ABC стороны AB=8 и BC=12, биссектриса BL делит сторону AC. Найдите отношение AL:LC.разбор
- Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон: LCAL=BCAB.
- LCAL=128=32.
- Отношение берут именно по сторонам, прилежащим к AC, — по AB и BC.
Ответ:
AL:LC=2:3На стороне AB треугольника взята точка C1 так, что AC1:C1B=1:2, а на стороне BC — точка A1 так, что BA1:A1C=3:1. В каком отношении точка B1 делит CA, если AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке?разбор
- Три чевианы в одной точке — работает теорема Чевы.
- C1BAC1⋅A1CBA1⋅B1ACB1=1, то есть 21⋅13⋅B1ACB1=1.
- 23⋅B1ACB1=1, значит B1ACB1=32.
Ответ:
CB1:B1A=2:3