Стереометрия, часть 2

Сечения, углы и расстояния в пространстве

Атанасян «Геометрия 10–11»

Суть и методы

Структура №15: а) построить сечение или доказать, б) найти угол/расстояние/площадь. Оба пункта оформляются с обоснованиями.
Сечение строится по свойствам: две точки одной грани соединяются; параллельные грани режутся параллельными прямыми; след ищется через продолжения.
Угол между прямой и плоскостью — между прямой и её проекцией; между плоскостями — линейный угол двугранного (перпендикуляры к общему ребру в одной точке).
Расстояние от точки до плоскости часто удобнее через объём: $d = \dfrac{3V}{S}$ для пирамиды с известным объёмом и гранью.
Координатный метод — страховка: ввести оси по рёбрам куба/параллелепипеда, углы через векторы и нормали, расстояния через формулы. Работает почти всегда, но требует аккуратных координат.
Теорема о трёх перпендикулярах — главный инструмент доказательства перпендикулярности в классическом решении.

Типичные ошибки

Соединяют точки РАЗНЫХ граней «через воздух» — линии сечения лежат только в гранях.
За угол между плоскостями выдают угол между произвольными прямыми в них.
В координатном методе путают вершины — размечайте куб один раз и стандартно.

Разобранные примеры

В кубе

ABCDA_1B_1C_1D_1

с ребром

2

найдите диагональ

AC_1

.разбор

Диагональ основания: $AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$ .
Треугольник $ACC_1$ прямоугольный: $AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{8+4}=\sqrt{12}$ .
$AC_1=2\sqrt3$ . Общая формула: диагональ куба с ребром $a$ равна $a\sqrt3$ .

Ответ:

2\sqrt3

В кубе с ребром

1

найдите тангенс угла между диагональю

AC_1

и плоскостью основания.разбор

Проекция $AC_1$ на основание — диагональ $AC=\sqrt2$ .
Угол между прямой и плоскостью — это угол $C_1AC$ , а $CC_1=1$ перпендикулярно основанию.
$\operatorname{tg}\angle C_1AC=\dfrac{CC_1}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .

Ответ:

\dfrac{\sqrt2}{2}

Тела вращения: цилиндр, ко…Отношения отрезков: биссек…