Геометрия
Стереометрия, часть 1

Тела вращения: цилиндр, конус, шар

Атанасян «Геометрия 10–11»
Суть и формулы
  • Цилиндр: V=πR2hV = \pi R^2 h, боковая поверхность S=2πRhS = 2\pi R h.
  • Конус: V=13πR2hV = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h, боковая поверхность S=πRlS = \pi R l, где ll — образующая, l2=R2+h2l^2 = R^2 + h^2.
  • Шар: V=43πR3V = \dfrac{4}{3}\pi R^3, сфера S=4πR2S = 4\pi R^2.
  • Вписанные и описанные комбинации: шар в цилиндре (h=2Rh = 2R), конус в цилиндре (общие основание и высота — объём втрое меньше цилиндра).
  • В задачах «во сколько раз» π\pi сокращается — не подставляйте 3,14, работайте буквами до конца.
Типичные ошибки
  • Путают радиус и диаметр — особенно когда дан диаметр основания.
  • В боковой поверхности конуса берут высоту вместо образующей.
  • Считают π\pi численно и ловят ошибки округления там, где он сокращается.
Разобранные примеры
Радиус основания цилиндра 33, высота 44. Найдите объём, делённый на π\pi.разбор
  1. V=πR2h=π⋅9⋅4=36πV=\pi R^2h=\pi\cdot9\cdot4=36\pi.
  2. Делим на π\pi: ответ 3636. В ЕГЭ обычно просят именно V/πV/\pi.
Ответ: 3636
Радиус основания конуса 33, высота 44. Найдите площадь боковой поверхности, делённую на π\pi.разбор
  1. Образующая: l=R2+h2=9+16=5l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{9+16}=5.
  2. Sбок=πRl=π⋅3⋅5=15πS_{\text{бок}}=\pi Rl=\pi\cdot3\cdot5=15\pi, делённая на π\pi — это 1515.
  3. В формулу идёт образующая ll, а не высота.
Ответ: 1515
Многогранники: объёмы и пл…Сечения, углы и расстояния…