Геометрия
Стереометрия, часть 1

Многогранники: объёмы и площади

Атанасян «Геометрия 10–11»
Суть и формулы
  • Призма: V=SоснhV = S_{\text{осн}} h; прямоугольный параллелепипед V=abcV = abc, куб V=a3V = a^3; диагональ параллелепипеда d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2.
  • Пирамида: V=13SоснhV = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} h — треть от призмы с тем же основанием и высотой.
  • Площадь поверхности — сумма площадей всех граней; у куба 6a26a^2.
  • Подобие: при увеличении всех рёбер в kk раз площади растут в k2k^2, объёмы — в k3k^3 раз.
  • Жидкость в сосуде: объём сохраняется — перелили в сосуд с втрое большей площадью основания, уровень упал втрое.
  • Отпиленные/достроенные куски: объём составного тела — сумма или разность объёмов простых.
Типичные ошибки
  • Теряют 13\dfrac{1}{3} в объёме пирамиды и конуса.
  • Мешают квадрат и куб коэффициента: рёбра ×2 — объём ×8, а не ×4.
  • Путают высоту пирамиды с апофемой (высотой боковой грани).
Разобранные примеры
Найдите объём и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 22, 33 и 55.разбор
  1. V=abc=2⋅3⋅5=30V=abc=2\cdot3\cdot5=30.
  2. S=2(ab+bc+ac)=2(6+15+10)=62S=2(ab+bc+ac)=2(6+15+10)=62.
Ответ: V=30V=30, S=62S=62
Основание пирамиды — квадрат со стороной 66, высота 55. Найдите объём.разбор
  1. V=13SоснhV=\dfrac13 S_{\text{осн}}h.
  2. Sосн=36S_{\text{осн}}=36, значит V=13⋅36⋅5=60V=\dfrac13\cdot36\cdot5=60.
  3. Треть забывают чаще всего: у призмы её нет, у пирамиды есть.
Ответ: 6060
Векторы на плоскостиТела вращения: цилиндр, ко…