Геометрия
Векторы

Векторы на плоскости

Атанасян «Геометрия 7–9», векторы
Суть и формулы
  • Координаты вектора по двум точкам: AB⃗=(xB−xA;  yB−yA)\vec{AB} = (x_B - x_A;\; y_B - y_A) — «конец минус начало».
  • Длина: ∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}. Сложение и вычитание — покоординатно; умножение на число — тоже.
  • Скалярное произведение: a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi.
  • Перпендикулярность: скалярное произведение равно нулю. Коллинеарность: координаты пропорциональны.
  • Косинус угла между векторами: cos⁡φ=x1x2+y1y2∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\varphi = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}.
  • Правило параллелограмма: AC⃗=AB⃗+AD⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} для вершин параллелограмма ABCDABCD.
Типичные ошибки
  • Считают координаты вектора «начало минус конец» — знак уезжает.
  • Путают длину вектора и его координаты; длина всегда неотрицательна.
  • В скалярном произведении перемножают длины без косинуса.
Разобранные примеры
Найдите длину вектора a⃗=(3; 4)\vec a=(3;\,4).разбор
  1. ∣a⃗∣=x2+y2|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}.
  2. 9+16=25=5\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Ответ: 55
Найдите скалярное произведение векторов a⃗=(1; 2)\vec a=(1;\,2) и b⃗=(3; −1)\vec b=(3;\,-1).разбор
  1. В координатах: a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2.
  2. 1⋅3+2⋅(−1)=3−2=11\cdot3+2\cdot(-1)=3-2=1. Результат — число, а не вектор.
Ответ: 11
Четырёхугольники и окружно…Многогранники: объёмы и пл…