Дисперсия, отклонение и непрерывные распределения — теория ЕГЭ по профильной математике, задание 6

Суть и формулы

Дисперсия — средний квадрат отклонения от матожидания: $D(X) = E\big((X - E(X))^2\big)$ . Считать удобнее по формуле $D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$ .
Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{D(X)}$ — в тех же единицах, что и сама величина, поэтому в ответе чаще просят именно его.
Свойства: $D(aX + b) = a^2D(X)$ — сдвиг дисперсию не меняет; для независимых величин $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ .
Схема Бернулли: $D(X) = np(1 - p)$ .
Функция распределения $F(x) = P(X \le x)$ не убывает и меняется от $0$ до $1$ . Для непрерывной величины $P(a < X < b) = F(b) - F(a)$ , а плотность — производная: $f(x) = F'(x)$ .
Равномерное на $[a;\,b]$ : $f(x) = \dfrac{1}{b - a}$ , $E = \dfrac{a + b}{2}$ , $D = \dfrac{(b - a)^2}{12}$ . Вероятность попасть в кусок отрезка равна доле его длины.
Показательное с параметром $\lambda$ : $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ при $x \ge 0$ , $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ , $E = \dfrac{1}{\lambda}$ , $D = \dfrac{1}{\lambda^2}$ .
Нормальное $N(\mu;\,\sigma)$ симметрично относительно $\mu$ . Правило трёх сигм: в $\mu \pm \sigma$ попадает около $68\%$ значений, в $\mu \pm 2\sigma$ — около $95\%$ , в $\mu \pm 3\sigma$ — около $99{,}7\%$ .

Типичные ошибки

Пишут $D(X) = \big(E(X)\big)^2 - E(X^2)$ — знаки наоборот; дисперсия отрицательной не бывает, это сигнал ошибки.
Меняют дисперсию при сдвиге: $D(X + 5) = D(X)$ , сдвигается только матожидание.
Берут проценты правила сигм наугад — они привязаны к $\sigma$ , $2\sigma$ и $3\sigma$ , а не к произвольному интервалу.

Разобранные примеры

Величина

X

принимает значения

1

,

2

и

3

с вероятностями

0{,}2

,

0{,}5

и

0{,}3

. Найдите дисперсию и стандартное отклонение.разбор

$E(X) = 1\cdot0{,}2 + 2\cdot0{,}5 + 3\cdot0{,}3 = 0{,}2 + 1 + 0{,}9 = 2{,}1$ .
$E(X^2) = 1\cdot0{,}2 + 4\cdot0{,}5 + 9\cdot0{,}3 = 0{,}2 + 2 + 2{,}7 = 4{,}9$ .
$D(X) = 4{,}9 - 2{,}1^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$ , значит $\sigma = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ .

Ответ:

D = 0{,}49

,

\sigma = 0{,}7

Автобус приходит в случайный момент отрезка

[2;\,8]

(минуты после расписания) равномерно. Найдите

E

,

D

и вероятность, что он опоздает больше чем на

6

минут.разбор

Равномерное на $[2;\,8]$ : $E = \dfrac{2 + 8}{2} = 5$ , $D = \dfrac{(8 - 2)^2}{12} = \dfrac{36}{12} = 3$ .
Вероятность — доля длины: подходит кусок $(6;\,8]$ длиной $2$ из всего отрезка длиной $6$ .
$P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ:

E = 5

,

D = 3

,

P = \dfrac{1}{3}

Рост юношей распределён нормально со средним

\mu = 176

см и стандартным отклонением

\sigma = 6

см. Какая примерно доля юношей имеет рост от

164

до

188

см?разбор

$164 = \mu - 2\sigma$ , $188 = \mu + 2\sigma$ — это интервал $\mu \pm 2\sigma$ .
По правилу трёх сигм в него попадает около $95\%$ значений.
Ответ: примерно $95\%$ .

Ответ:

\approx 95\%