Вероятность и статистика
Случайные величины

Случайная величина и её распределение. Задание 6

ФГОС, «Вероятность и статистика 10–11»; демоверсия ФИПИ ЕГЭ-2027
Суть и формулы
  • Случайная величина — число, которое зависит от исхода опыта: сумма на двух кубиках, выигрыш по билету, число попаданий из пяти выстрелов.
  • Закон распределения дискретной величины — таблица «значение xix_i — вероятность pip_i». Проверка модели одна: p1+p2+⋯+pn=1p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1.
  • Математическое ожидание E(X)=x1p1+x2p2+⋯+xnpnE(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \dots + x_np_n — среднее значение при многократном повторении опыта. Совпадать с каким-то из значений оно не обязано: у кубика E(X)=3,5E(X) = 3{,}5.
  • Свойства: E(aX+b)=aE(X)+bE(aX + b) = aE(X) + b; E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X + Y) = E(X) + E(Y) — сумма работает всегда, независимость для неё не нужна.
  • Число успехов в nn испытаниях Бернулли с вероятностью pp: E(X)=npE(X) = np.
  • Игра честная, когда матожидание чистого выигрыша равно нулю. Если оно отрицательное, игра невыгодна игроку — это стандартный вопрос про лотерею.
Типичные ошибки
  • Считают среднее арифметическое значений вместо взвешенного по вероятностям.
  • Не проверяют, что сумма вероятностей равна единице, и не замечают потерянного исхода.
  • Путают выплату и чистый выигрыш: если билет стоит денег, его цену вычитают.
Разобранные примеры
Билет лотереи даёт выплату 10001000 рублей с вероятностью 0,030{,}03, выплату 300300 рублей с вероятностью 0,10{,}1 и ничего в остальных случаях. Найдите математическое ожидание выплаты по одному билету.разбор
  1. Таблица распределения: 10001000 — 0,030{,}03; 300300 — 0,10{,}1; 00 — 0,870{,}87. Сумма вероятностей равна 11.
  2. E=1000⋅0,03+300⋅0,1+0⋅0,87=30+30E = 1000\cdot0{,}03 + 300\cdot0{,}1 + 0\cdot0{,}87 = 30 + 30.
  3. E=60E = 60 рублей. Если билет стоит 100100 рублей, чистый выигрыш в среднем 60−100=−4060 - 100 = -40 рублей — игра невыгодна.
Ответ: 6060 рублей
Монету бросают 55 раз. Найдите математическое ожидание числа выпавших орлов.разбор
  1. Число орлов — число успехов в схеме Бернулли: n=5n = 5, p=0,5p = 0{,}5.
  2. E(X)=np=5⋅0,5E(X) = np = 5\cdot0{,}5.
  3. E(X)=2,5E(X) = 2{,}5. Нецелое значение здесь нормально: это среднее по многим сериям, а не результат одной.
Ответ: 2,52{,}5
Случайная величина XX принимает значения −2-2, 00 и 44 с вероятностями 0,50{,}5, 0,20{,}2 и 0,30{,}3. Найдите E(3X+1)E(3X + 1).разбор
  1. Сначала E(X)=−2⋅0,5+0⋅0,2+4⋅0,3=−1+1,2=0,2E(X) = -2\cdot0{,}5 + 0\cdot0{,}2 + 4\cdot0{,}3 = -1 + 1{,}2 = 0{,}2.
  2. По свойству E(3X+1)=3E(X)+1=3⋅0,2+1E(3X + 1) = 3E(X) + 1 = 3\cdot0{,}2 + 1.
  3. E(3X+1)=1,6E(3X + 1) = 1{,}6.
Ответ: 1,61{,}6
Сложные задачи: дерево, по…Дисперсия, отклонение и не…