Абсолютная и относительная погрешность

Если $\bar a$ мало отличается от $a$, пишут $a \approx \bar a$: $\bar a$ — приближение числа $a$.

Абсолютной погрешностью приближения называют модуль разности числа и его приближения: $|a - \bar a|$.

Например, $17{,}32 \approx 17$: абсолютная погрешность $|17{,}32 - 17| = 0{,}32$.

Всякое число $h$, не меньшее абсолютной погрешности, называют погрешностью (оценкой погрешности) приближения. Абсолютная погрешность — наименьшая из них.

На практике точное число обычно неизвестно, а значит, неизвестна и абсолютная погрешность. Поэтому указывают оценку — простую и не слишком завышенную.

$17{,}32 \approx 17$ с точностью до $1$, потому что $0{,}32 < 1$. $\ 879 \approx 900$ с точностью до $50$, потому что $|900 - 879| = 21 < 50$ (так считают расстояния для оплаты проезда).

Если $a_1 \le a \le a_2$, то $a_1$ — приближение с недостатком (снизу), $a_2$ — с избытком (сверху), с точностью до $a_2 - a_1$.

Температура: $38{,}3^\circ < T < 38{,}4^\circ$ — оба числа приближают $T$ с точностью до $0{,}1^\circ$. Для $a = -13{,}23089107$: $\ -13{,}231 < a < -13{,}230$ — приближения с точностью до $0{,}001$ снизу и сверху.

Округление — выбор ближайшего из двух: погрешность не больше половины шага. $3{,}5629 \approx 3{,}56$, $\ 3{,}56812 \approx 3{,}57$; середину $3{,}565$ принято округлять вверх: $3{,}57$. Погрешность во всех случаях не больше $0{,}005$.

1. а) $|2{,}7 - 3| = 0{,}3$; $\ |5{,}789 - 5{,}79| = 0{,}001$; $\ |32 - 30| = 2$.
2. б) $|\pi - 3{,}14| = 0{,}0015\ldots$, $\ |\pi - 3{,}15| = 0{,}0084\ldots$ — лучше $3{,}14$.
3. в) Третья цифра $2 < 5$: $\ -1{,}3027 \approx -1{,}30$ с погрешностью $0{,}0027 < 0{,}005$.

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к модулю числа. Её часто выражают в процентах.

$17{,}83 \approx 18$: абсолютная погрешность $0{,}17$, относительная $\dfrac{0{,}17}{17{,}83} < \dfrac{0{,}17}{17} = 0{,}01$, то есть меньше $1\%$.

Ошибка $1$ см при измерении детали длиной $10$ см — грубо ($\frac{1}{10}$), а при измерении комнаты длиной $5$ м — хорошо ($\frac{1}{500}$). Точность приближения характеризуют относительной погрешностью: чем она меньше, тем приближение точнее.

• Заменим $253\,624$ на $253\,000$ (до третьей значащей цифры с недостатком). В стандартном виде $2{,}53624 \cdot 10^5 \approx 2{,}53 \cdot 10^5$, разность первых множителей меньше $0{,}01$, а сам множитель не меньше $1$.
• Поэтому $\delta \le \dfrac{0{,}01}{2{,}53624} \le 0{,}01$. При отбрасывании до $k$-й значащей цифры $\delta \le 10^{-(k-1)}$.
• При округлении до $k$-й значащей цифры ошибка множителя не больше половины единицы последнего разряда: $\delta \le \dfrac12 \cdot 10^{-(k-1)}$. Так, $253\,624 \approx 254\,000$ даёт $\delta \le 0{,}005$.
• $0{,}037123 \approx 0{,}037$ — до второй значащей цифры: $\delta \le 0{,}1$ при отбрасывании и $\le 0{,}05$ при округлении (здесь эти приближения совпадают).

1. а) Отбросили до третьей значащей цифры: $\delta \le 10^{-2}$. б) Округлили до третьей: $\delta \le \dfrac12 \cdot 10^{-2}$.
2. в) Отбросили до четвёртой: $\delta \le 10^{-3}$. г) Округлили до четвёртой: $\delta \le \dfrac12 \cdot 10^{-3}$.
3. д) Округлили до второй: $\delta \le \dfrac12 \cdot 10^{-1} = 0{,}05$. (Точно: $\dfrac{31}{9431} \approx 0{,}0033$ — оценка с запасом.)

1. а) $|127 - 130| = 3$; $\ \delta = \dfrac{3}{127} \approx 0{,}024 = 2{,}4\%$.
2. б) $|0{,}185 - 0{,}19| = 0{,}005$; $\ \delta = \dfrac{0{,}005}{0{,}185} \approx 0{,}027 = 2{,}7\%$.
3. Абсолютные погрешности несравнимы ($3$ и $0{,}005$), а относительные почти одинаковы — приближения одинаково точные.

1. $C = \pi D$, поэтому $D = \dfrac{C}{\pi} = \dfrac{4{,}8}{3{,}14\ldots} = 1{,}528\ldots$
2. Округляем до десятых: вторая цифра после запятой $2 < 5$, $\ D \approx 1{,}5$ м.
3. Погрешность округления не больше $0{,}05$ м.

1. $190\,000 \cdot 0{,}29 = 55\,100$.
2. До тысяч: цифра сотен $1 < 5$ — $\ 55\,000$.

• Абсолютная погрешность $|a - \bar a|$; погрешность — любая её оценка сверху.
• Округление даёт погрешность не больше половины единицы последнего сохранённого разряда.
• Относительная погрешность $\dfrac{|a - \bar a|}{|a|}$ — мера точности.
• До $k$-й значащей цифры: $\delta \le 10^{-(k-1)}$ при отбрасывании, $\le \frac12 \cdot 10^{-(k-1)}$ при округлении.