Приближения суммы, разности, произведения

Теорема. Абсолютная погрешность приближения суммы или разности двух чисел не превышает суммы абсолютных погрешностей приближений этих чисел.

Доказательство. $(a + b) - (\bar a + \bar b) = (a - \bar a) + (b - \bar b)$, а модуль суммы не больше суммы модулей. Для разности: $(a - b) - (\bar a - \bar b) = (a - \bar a) - (b - \bar b)$, и $|x - y| \le |x| + |y|$.

Так же для любого конечного числа слагаемых: погрешность суммы не больше суммы погрешностей.

1. а) Оба слагаемых взяты с недостатком до сотых: погрешность каждого меньше $0{,}01$, суммы — меньше $2 \cdot 0{,}01 = 0{,}02$.
2. б) Оба округлены до сотых: погрешность каждого не больше $0{,}005$, суммы — не больше $0{,}01$.
3. Точное значение $1{,}10116$: оба результата укладываются в свои оценки.

1. Если брать слагаемые с недостатком до $10^{-k}$, погрешность суммы не больше $20 \cdot 10^{-k}$: при $k = 1$ это $2$, при $k = 2$ — $0{,}2$, при $k = 3$ — $0{,}02 < 0{,}1$. Нужно три знака.
2. Если округлять, погрешность каждого — $\dfrac12 \cdot 10^{-k}$, суммы — $10 \cdot 10^{-k}$. При $k = 2$ получаем ровно $0{,}1$.
3. Округление экономнее: хватает двух знаков после запятой.

Правило. Относительная погрешность произведения (частного) не превышает суммы относительных погрешностей множителей (делимого и делителя).

Откуда: $ab - \bar a\bar b = \bar b(a - \bar a) + \bar a(b - \bar b) + (a - \bar a)(b - \bar b)$. Делим на $ab$; последнее слагаемое — произведение двух малых относительных погрешностей, им пренебрегают. Поэтому правило «не совсем точное», но годится, когда погрешности малы.

Совет учебника: погрешности множителей стараются делать одинаковыми — нет смысла один множитель брать очень точно, а другой грубо.

1. а) Округлим до трёх значащих цифр: $3{,}75$ и $12{,}3$ — относительная погрешность каждого не больше $0{,}005$. $\ 3{,}75 \cdot 12{,}3 = 46{,}125$ — погрешность не больше $0{,}01$.
2. Округлим и результат: $46{,}125 \approx 46{,}1$ (ещё $\le 0{,}005$). Итого $ab \approx 46{,}1$ с $\delta < 0{,}02$; абсолютная погрешность меньше $0{,}02 \cdot 4 \cdot 12{,}5 = 1$.
3. б) $a \approx 12{,}3$, $b \approx 0{,}788$: $\ \dfrac{12{,}3}{0{,}788} = 15{,}609\ldots \approx 15{,}6$ с $\delta < 0{,}01 + 0{,}005 < 0{,}02$.

• Калькулятор с восьмиразрядным табло показывает первые восемь цифр результата без округления: $35{,}272 \times 62{,}116 = 2190{,}955552 \to 2190{,}9555$ — погрешность меньше $10^{-4}$.
• Если в калькулятор вводят результаты измерений, все восемь цифр ответа верными не будут. $a \approx 35{,}1$, $b \approx 0{,}871$ — каждое с $\delta \le 0{,}01$.
• $35{,}1 \cdot 0{,}871 = 30{,}5721 \approx 30{,}57$ и $35{,}1 : 0{,}871 = 40{,}298507 \approx 40{,}30$ — с относительной погрешностью не больше $0{,}021$. Остальные цифры табло смысла не имеют.

1. $t = \dfrac{7{,}79 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^5} = 2{,}596\ldots \cdot 10^3$ с.
2. В минутах: $\dfrac{2596{,}67}{60} = 43{,}27\ldots$
3. До десятых: $43{,}3$.

1. $\dfrac{3{,}2 \cdot 10^8}{9{,}5 \cdot 10^6} = \dfrac{3{,}2}{9{,}5} \cdot 10^2$.
2. $\dfrac{3{,}2}{9{,}5} \approx 0{,}337$, значит, около $33{,}7$ человека.
3. Прикидка порядка отсекает варианты 2 и 4 сразу: $10^8 : 10^7 = 10$, ответ — десятки.

• Погрешность суммы и разности не больше суммы абсолютных погрешностей.
• Относительная погрешность произведения и частного примерно не больше суммы относительных погрешностей.
• Данные берём с одинаковой точностью; лишние цифры результата отбрасываем.
• Перед вычислением полезна прикидка порядка результата.