Перестановки и размещения

Произведение всех натуральных чисел от $1$ до $n$ читают «эн факториал»: $2! = 2$, $3! = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$, $6! = 720$.

Факториал растёт очень быстро: $10! = 3\,628\,800$.

Перестановкой из $n$ элементов называют какое-либо расположение этих элементов в определённом порядке. Число перестановок обозначают $P_n$.

Две буквы: $ab$, $ba$ — $2$ способа. Три буквы: $abc, acb, bac, bca, cab, cba$ — на первое место $3$ варианта, на второе $2$, на третье $1$: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 3!$.

Для четырёх цифр: перестановок, начинающихся с $1$, — $3! = 6$; на первое место можно поставить любую из $4$ цифр, всего $P_4 = 4 \cdot 3! = 4!$. Так же $P_n = n \cdot P_{n-1} = n!$.

1. В обоих случаях нужно расставить $4$ элемента по $4$ местам — это перестановки: $P_4 = 4! = 24$.

Размещением из $n$ элементов по $k$ называют любой упорядоченный набор из $k$ элементов, составленный из данных $n$ элементов. Число размещений — $A_n^k$.

$A_n^2 = n(n - 1)$: на первое место $n$ вариантов, на второе $n - 1$. Так же $A_n^3 = n(n - 1)(n - 2)$ — в произведении $k$ множителей.

При $k = n$ размещение — это перестановка: $A_n^n = n!$.

1. Важно, кому какой билет: пара (кому первый, кому второй) упорядочена — это размещение из $7$ по $2$.
2. $A_7^2 = 7 \cdot 6 = 42$. Проверка перебором: $12, 13, \ldots, 17$; $21, 23, \ldots$ — в каждом из $7$ рядов по $6$ пар.

1. а) Первое место — $7$ вариантов, второе — $6$, третье — $5$: $A_7^3 = 210$.
2. б) $A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.

• $n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$; $\ P_n = n!$ — все способы расставить $n$ элементов.
• $A_n^k = n(n - 1)\ldots(n - k + 1)$ — упорядоченные выборы $k$ из $n$.
• Порядок важен (места, разные призы, номер) — размещения.
• $A_n^k = \dfrac{n!}{(n - k)!}$.