Что такое уравнение и его корень

Если известно, что сумма числа, обозначенного буквой $x$, и числа $5$ равна $8$, и требуется определить, какое число обозначено буквой $x$, то говорят, что надо решить уравнение $x + 5 = 8$.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо $x$ получается верное числовое равенство. Корень уравнения $x + 5 = 8$ — число $3$: $3 + 5 = 8$.

Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что их нет).

1. Подставляем $x = 2$ в обе части и сравниваем.
2. а) $2 + 4 = 6 \ne 0$ — нет. б) $3 \cdot 2 - 4 = 2$ и справа $2$ — да.
3. в) $2 + 3 = 5$, $\ 2 \cdot 2 + 1 = 5$ — да. г) $3 \cdot 2 + 4 = 10$, $\ 6 \cdot 2 - 2 = 10$ — да.

Пример 1 (с. 120). $x + 5 = 8$. В левой части число $x + 5$, в правой — равное ему число $8$. Равенство не изменится, если обе части уменьшить на $5$: $x = 8 - 5$, $\ x = 3$.

Говорят, что число $5$ перенесли в правую часть с противоположным знаком.

Пример 2. $x - 2 = 5$. Переносим $(-2)$ вправо с противоположным знаком: $x = 5 + 2$, $\ x = 7$.

Пример 3 (с. 121). $3x = 4$. Произведение чисел $3$ и $x$ равно $4$; равенство не изменится, если обе части разделить на $3$: $x = 4 : 3 = 1\dfrac13$.

Пример 4. $3 - \dfrac12 x = 5$. Переносим $3$: $-\dfrac12 x = 5 - 3 = 2$. Делим обе части на $\left(-\dfrac12\right)$: $x = 2 : \left(-\dfrac12\right) = -4$.

Пример 5. $5x = 3x - 6$. Вычтем из обеих частей $3x$: $5x - 3x = -6$; по распределительному закону $(5 - 3)x = -6$, $\ 2x = -6$, $\ x = -3$.

• Раскрыть скобки (если есть).
• Перенести слагаемые с $x$ в одну часть, числа — в другую, меняя знаки при переносе.
• Привести подобные: $5x - 3x = (5 - 3)x = 2x$.
• Разделить обе части на коэффициент при $x$. Сделать проверку подстановкой.

1. а) $x - 3x = -7 - 3$, $\ -2x = -10$, $\ x = 5$. Проверка: $5 + 3 = 8$, $\ 15 - 7 = 8$ ✓.
2. б) $7x - 3x = -10 - 2$, $\ 4x = -12$, $\ x = -3$. Проверка: $-21 + 2 = -19$, $\ -9 - 10 = -19$ ✓.

1. а) Раскроем скобки: $2x - 10 = 9$, $\ 2x = 19$, $\ x = 9\dfrac12$.
2. б) $1 - 10 + 15x = 6$ (минус перед скобкой меняет знаки), $\ 15x = 6 - 1 + 10 = 15$, $\ x = 1$.
3. Проверка б): $1 - 5 \cdot (2 - 3) = 1 + 5 = 6$ ✓.

1. $5 - x = 4x - 12$.
2. $-x - 4x = -12 - 5$, $\ -5x = -17$, $\ x = \dfrac{17}5 = 3\dfrac25$.

1. Слагаемое $-4x$ переносим вправо: $5 = x + 4x$, $\ 5 = 5x$.
2. $x = 1$. Проверка: $-4 + 5 = 1$ ✓.

• Корень — число, обращающее уравнение в верное равенство; решить — найти все корни.
• Слагаемое переносят в другую часть с противоположным знаком.
• Обе части делят (умножают) на одно и то же число, не равное нулю.
• Порядок: скобки → перенос → подобные → деление на коэффициент → проверка.