Уравнения и неравенства · 6 класс · урок 2 из 2 · Никольский, «Математика 6», п. 3.9–3.10, п. 3.10

Решение задач с помощью уравнений

Сначала нужно знать: Решение уравнений
Зачем этот урок: ВПР 5 класса, задание 11; дальше — ОГЭ №21 (текстовые задачи)
Дальше: Линейные уравнения (7 класс)

Уравнения · урок 2

Задачи через уравнения

Обозначить, составить, решить, ответить

Четыре шага

Неизвестную величину обозначить буквой.
Используя условия задачи, составить уравнение — записать одну и ту же величину двумя способами.
Решить составленное уравнение.
Ответить на вопрос задачи (иногда найденный $x$ — ещё не ответ).

Удобно обозначать

x

меньшую величину: тогда остальные выражаются сложением и умножением, без дробей.

Никольский, Математика 6, п. 3.10Задача 1

Ученик задумал число, увеличил его в

2

раза, прибавил

3

и получил

7

. Какое число он задумал?

Пусть задумано число $x$ . Увеличил в $2$ раза — $2x$ , прибавил $3$ — $2x + 3$ , по условию это $7$ .
$2x + 3 = 7$ , $\ 2x = 4$ , $\ x = 2$ .

Ответ: $2$

Никольский, Математика 6, п. 3.10Задача 2

В классе

37

учащихся, причём мальчиков на

5

больше, чем девочек. Сколько девочек в классе?

Пусть девочек $x$ , тогда мальчиков $x + 5$ . Всего $37$ : $\ x + (x + 5) = 37$ .
$2x + 5 = 37$ , $\ 2x = 32$ , $\ x = 16$ .

Ответ: $16$ девочек

Никольский, Математика 6, п. 3.10Задача 3

У брата и сестры было поровну денег. Брат купил

3

одинаковые ручки, и у него осталось

30

к. Сестра купила

2

такие же ручки, и у неё осталось

1

р.

80

к. Сколько стоит ручка?

Пусть ручка стоит $x$ к. У брата было $(3x + 30)$ к., у сестры — $(2x + 180)$ к. Денег было поровну:
$3x + 30 = 2x + 180$ , $\ 3x - 2x = 180 - 30$ , $\ x = 150$ .
$150$ к. $= 1$ р. $50$ к.

Ответ: $1$ р. $50$ к.

Никольский, Математика 6, п. 3.10Задача 4

Найдите число,

\dfrac45

которого равны

12

Пусть число $x$ ; $\dfrac45$ его — это $\dfrac45 x = 12$ .
$x = 12 : \dfrac45 = 12 \cdot \dfrac54 = 15$ . Та же задача «число по его части», только записанная уравнением.

Ответ: $15$

ВПР 5 класс, задание 11Пример 1

В двух коробках

36

карандашей. В первой коробке карандашей в

3

раза меньше, чем во второй. Сколько карандашей во второй коробке?

Меньшую величину обозначим $x$ : в первой $x$ , во второй $3x$ .
$x + 3x = 36$ , $\ 4x = 36$ , $\ x = 9$ .
Вопрос — про вторую коробку: $3 \cdot 9 = 27$ .

Ответ: $27$

Никольский, Математика 6, п. 3.10Пример 2

Кусок полотна в

124

м надо разрезать на две части так, чтобы одна была на

12

м длиннее другой. По скольку метров будет в каждой части?

Пусть короткая часть $x$ м, длинная — $(x + 12)$ м: $\ x + x + 12 = 124$ .
$2x = 112$ , $\ x = 56$ ; длинная часть $56 + 12 = 68$ м.

Ответ: $56$ м и $68$ м

Никольский, Математика 6, п. 3.10Пример 3

В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них всех вместе

19

голов и

46

ног?

Пусть кур $x$ , тогда овец $19 - x$ . У курицы $2$ ноги, у овцы $4$ : $\ 2x + 4(19 - x) = 46$ .
$2x + 76 - 4x = 46$ , $\ -2x = -30$ , $\ x = 15$ .
Кур $15$ , овец $19 - 15 = 4$ . Проверка: $30 + 16 = 46$ ✓.

Ответ: $15$ кур и $4$ овцы

Никольский, Математика 6, п. 3.10Пример 4

Из «Арифметики» Магницкого. Учитель отвечал: «Если придёт ко мне ещё столько, сколько имею, да ещё половина и ещё четверть и ещё твой сын, то будет у меня

100

учеников». Сколько учеников было у учителя?

Пусть учеников $x$ : $\ x + x + \dfrac12 x + \dfrac14 x + 1 = 100$ .
$\left(2 + \dfrac12 + \dfrac14\right)x = 99$ , $\ \dfrac{11}4 x = 99$ .
$x = 99 \cdot \dfrac4{11} = 36$ . Проверка: $36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100$ ✓.

Ответ: $36$

Никольский, Математика 6, п. 3.10Пример 5

«Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу?» — «Половина изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть ещё три женщины».

Пусть учеников $x$ : $\ \dfrac12 x + \dfrac14 x + \dfrac17 x + 3 = x$ .
$\dfrac{14 + 7 + 4}{28} x + 3 = x$ , $\ 3 = x - \dfrac{25}{28}x = \dfrac{3}{28}x$ .
$x = 28$ . Проверка: $14 + 7 + 4 + 3 = 28$ ✓.

Ответ: $28$

Главное

Обозначить $x$ (лучше меньшую величину), выразить через $x$ остальные.
Уравнение — одна величина, записанная двумя способами.
Решить и ответить именно на вопрос задачи.
Проверить по условию, а не по уравнению: так ловятся ошибки составления.

Решение задач с помощью уравнений

Все уроки станции «Уравнения»