Уравнение первой степени с одним неизвестным

$5x - 3 = 0$, $\ -2x - 7 = 0$, $\ x + 5 = 0$, $\ 3x = 0$ — уравнения первой степени с одним неизвестным $x$: слева многочлен стандартного вида первой степени, справа нуль.

$k$ — коэффициент при неизвестном, $b$ — свободный член. В $5x - 3 = 0$: $k = 5$, $b = -3$; в $3x = 0$: $k = 3$, $b = 0$.

Корень (решение) — число, при подстановке которого вместо $x$ получается верное числовое равенство. Решить уравнение — найти все его корни.

Пусть $x_0$ — корень: $kx_0 + b = 0$ — верное числовое равенство. Перенесём $b$: $kx_0 = -b$; разделим на $k \ne 0$: $x_0 = -\dfrac bk$. Значит, никакого другого корня быть не может.

Проверим, что $-\dfrac bk$ действительно корень: $k \cdot \left(-\dfrac bk\right) + b = -b + b = 0$. Верно.

Итак, уравнение первой степени имеет ровно один корень. Алгоритм: 1) перенести свободный член вправо с противоположным знаком; 2) разделить на коэффициент при неизвестном.

• Линейным называют уравнение, обе части которого — многочлены степени не выше первой относительно $x$ (или числа): $3x - 5 + 2x - 1 = 2$, $\ 4x - 3 = 3x - 4$.
• После переноса всего влево и приведения подобных получаем $kx + b = 0$, где теперь $k$ может быть и нулём.
• 1) $k \ne 0$ — единственный корень $-\dfrac bk$. 2) $k = 0$, $b \ne 0$ — уравнение $0 \cdot x + b = 0$ не имеет корней.
• 3) $k = 0$, $b = 0$ — уравнение $0 \cdot x = 0$: любое число — корень.

1. а) Приводим подобные: $5x - 6 = 0$, $\ x = \dfrac65 = 1{,}2$.
2. б) Переносим: $2x - 2x + 8 - 6 = 0$, то есть $0 \cdot x + 2 = 0$ — корней нет.
3. в) $2x + 1 - 3x - 1 + x = 0$, то есть $0 \cdot x + 0 = 0$ — любое число является корнем.
4. г) $x - (x + 2x - 2) = 4$; $\ x - x - 2x + 2 = 4$; $\ -2x = 2$; $\ x = -1$.

1. Умножим обе части на общий знаменатель $6$ — получим равносильное уравнение без дробей: $3(5x - 7) - 2(3x + 1) = x + 17$.
2. $15x - 21 - 6x - 2 = x + 17$.
3. $9x - x = 17 + 23$; $\ 8x = 40$; $\ x = 5$.

1. Раскрываем скобки: $10x - 90 = 7$.
2. $10x = 97$; $\ x = 9{,}7$.
3. Можно и иначе: разделить обе части на $10$: $x - 9 = 0{,}7$.

1. Умножаем на $6$: $3(x - 6) - 2x = 18$.
2. $3x - 18 - 2x = 18$; $\ x = 36$.

1. «Значения равны» — это уравнение $7x - 2 = 3x + 6$.
2. $4x = 8$; $\ x = 2$. Проверка: $7 \cdot 2 - 2 = 12 = 3 \cdot 2 + 6$.

• $kx + b = 0$ при $k \ne 0$ имеет единственный корень $-\dfrac bk$.
• Линейное уравнение: всё влево, подобные — и получится один корень, ни одного ($0x = b \ne 0$) или бесконечно много ($0x = 0$).
• Равносильные преобразования: умножение на число $\ne 0$, перенос с другим знаком, приведение подобных.
• Дроби с числовыми знаменателями убираем, умножив обе части на общий знаменатель.