Задачи с помощью линейных уравнений

• 1) Решить, что обозначить через $x$ — обычно то, что спрашивают, или величину, через которую удобно выразить остальные.
• 2) Выразить через $x$ все величины из условия.
• 3) Найти в условии два способа записать одну и ту же величину и приравнять их — получится уравнение.
• 4) Решить уравнение и проверить, подходит ли корень по смыслу (целое число гусей, положительный возраст), и ответить на вопрос задачи.

1. Пусть в стае $x$ гусей. «Столько, ещё столько, полстолько, четверть столько и ты»: $x + x + \dfrac12x + \dfrac14x + 1$.
2. Это равно $100$: $\ 2{,}75x + 1 = 100$.
3. $2{,}75x = 99$; $\ x = 36$.

1. $x$ лет назад отцу было $50 - x$, сыну $20 - x$.
2. $50 - x = 3(20 - x)$; $\ 50 - x = 60 - 3x$; $\ 2x = 10$; $\ x = 5$.
3. Проверка: $5$ лет назад отцу $45$, сыну $15$, $45 = 3 \cdot 15$.

1. а) $x$ монет по $2$ р., $26 - x$ — по $5$ р.: $\ 2x + 5(26 - x) = 100$; $\ 130 - 3x = 100$; $\ x = 10$.
2. б) Скорость в стоячей воде $v$; путь туда и обратно одинаков: $3(v + 5) = 5(v - 5)$.
3. $3v + 15 = 5v - 25$; $\ 2v = 40$; $\ v = 20$ км/ч.

В задании 12 ОГЭ дана формула и все величины, кроме одной. Подставив числа, получаем линейное уравнение относительно неизвестной величины.

Можно сначала выразить нужную букву (как в формуле), можно сначала подставить числа — результат один и тот же.

Пример: $F = 1{,}8C + 32$. Какая температура по Цельсию соответствует $-4^\circ F$? $\ -4 = 1{,}8C + 32$, $\ 1{,}8C = -36$, $\ C = -20$.

1. Подставляем: $54 = 10^2 \cdot R$, то есть $100R = 54$.
2. $R = 0{,}54$.

1. При сушке испаряется вода, а сухое вещество не меняется — его и приравниваем.
2. В свежих фруктах сухого вещества $20\%$: $0{,}2 \cdot 288 = 57{,}6$ кг. Пусть сухих фруктов $x$ кг, в них сухого вещества $72\%$: $0{,}72x$.
3. $0{,}72x = 57{,}6$; $\ x = 80$.

1. Относительно пешехода поезд движется со скоростью $63 - 3 = 60$ км/ч $= \dfrac{60\,000}{3600} = \dfrac{50}{3}$ м/с.
2. За $57$ с поезд «проходит мимо» пешехода — проходит свою длину $L$: $\ L = \dfrac{50}{3} \cdot 57 = 950$ (м).

• Обозначаем, выражаем всё через $x$, приравниваем два выражения одной величины.
• В задачах на смеси и сушку приравниваем то, что не меняется (сухое вещество, кислота).
• Движение навстречу/вдогонку — сумма/разность скоростей; по реке — $v \pm v_{\text{теч}}$.
• Проверяем ответ по смыслу задачи.