Относительность одновременности. Следствия постулатов

До XX века никто не сомневался: события, одновременные для жителей Земли, одновременны для любой цивилизации. Это опиралось на возможность мгновенной передачи сигналов.

События в точках A и B одновременны, если происходят при одинаковых показаниях синхронизированных часов в A и B.

Но сигналы не мгновенны. Синхронизировать часы естественно светом — его скорость строго постоянна. Так сверяют часы по радио с поправкой на запаздывание сигнала.

Космонавт сверяет часы A (на носу) и B (на корме): в середине корабля вспыхивает свет. В системе корабля $K_1$ он одновременно доходит до обоих часов.

В системе Земли $K$ корабль движется: нос уходит от места вспышки, корма к нему приближается. Свет до кормы проходит меньший путь — приходит к B раньше, чем к A.

Обе системы равноправны (первый постулат). Вывод: одновременность пространственно разделённых событий относительна.

Пусть $l_0$ — длина стержня в системе, где он покоится (собственная длина). В системе, относительно которой стержень движется вдоль своей длины со скоростью $v$:

• Это релятивистское сокращение размеров движущегося тела — только вдоль направления движения.
• Поперечные размеры не меняются.
• Эффект взаимный: для наблюдателя на стержне сокращены линейки неподвижной системы.

Пусть $\tau_0$ — промежуток между двумя событиями в одной точке системы $K$ (два удара метронома) — собственное время. В системе, движущейся относительно $K$ со скоростью $v$, тот же промежуток:

• Движущиеся часы идут медленнее покоящихся.
• Нестабильные частицы, летящие почти со скоростью света, живут по лабораторным часам дольше, чем в покое, — это измерено.
• При $v \ll c$ $\;l \approx l_0$ и $\tau \approx \tau_0$ — эффекты незаметны.

Во всех формулах СТО стоит множитель

Тело движется со скоростью $v_1$ относительно системы $K_1$, а $K_1$ — со скоростью $v$ относительно $K$ вдоль той же оси. Скорость тела относительно $K$:

• При $v, v_1 \ll c$ дробь в знаменателе мала — получаем классическое $v_2 = v_1 + v$.
• При $v_1 = c$: $v_2 = \dfrac{c + v}{1 + v/c} = c$ — свет летит со скоростью $c$ в любой системе, как требует второй постулат.
• При любых $v_1, v \le c$ результат не превышает $c$.

1. Длина $l = l_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$ с ростом скорости уменьшается — 2.
2. Кинетическая энергия растёт — 1.
3. Скорость света одинакова во всех ИСО — 3.

1. $\tau = \gamma\tau_0$, $\gamma = 2$: $\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = \dfrac12$.
2. $\dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac34$, $\dfrac{v}{c} = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87$.

1. Перейдём в систему одной частицы: она движется со скоростью $v = 0{,}5c$, вторая в неподвижной системе — $0{,}5c$ навстречу.
2. $v_{\text{отн}} = \dfrac{0{,}5c + 0{,}5c}{1 + 0{,}25} = 0{,}8c$.
3. Отношение $0{,}8$, а не $1$, как дал бы классический закон.

1. Это ситуация «вспышки в корабле» наоборот. Пусть в середине вагона наблюдатель видит обе вспышки одновременно; для земли он движется навстречу свету от A и удаляется от света от B.
2. Чтобы свет от B догнал удаляющегося наблюдателя одновременно со светом от A, для земли вспышка B должна была произойти раньше.
3. Ответ: для наблюдателя на земле раньше ударила молния B, позади поезда.

• Одновременность пространственно разделённых событий относительна — из-за конечной скорости сигналов.
• Сокращение длины: $l = l_0\sqrt{1 - v^2/c^2}$ (вдоль движения).
• Замедление времени: $\tau = \dfrac{\tau_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — движущиеся часы идут медленнее.
• Сложение скоростей: $v_2 = \dfrac{v_1 + v}{1 + v_1v/c^2}$, результат не больше $c$.
• При $v \ll c$ всё переходит в классику.