Релятивистская динамика. Энергия и масса

Второй закон Ньютона в форме $m\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \vec{F}$ не меняется при переходе между ИСО только при малых скоростях. При скоростях, близких к $c$, он в этой форме неверен.

Понятия энергии и импульса сохраняют физический смысл, но выражаются иначе. Масса в релятивистской динамике — характеристика частицы, одна и та же во всех ИСО.

Существуют частицы, движущиеся со скоростью света: фотоны и нейтрино. Их масса равна нулю; их нельзя ни замедлить, ни ускорить, но энергия и импульс у них не нулевые:

Частица с массой (массовая частица) движется со скоростью $v < c$ и обладает собственной энергией — энергией покоя:

• Тело обладает энергией уже потому, что существует, — даже при нулевой скорости.
• Когда частицы с массой превращаются в безмассовые (например, в фотоны), их энергия покоя целиком переходит в энергию новых частиц — самое прямое доказательство существования энергии покоя.
• $1$ кг вещества: $E_0 = 1 \cdot (3 \cdot 10^8)^2 = 9 \cdot 10^{16}$ Дж.

Во всех ИСО энергия и импульс частицы связаны так:

• Масса и $c$ одинаковы во всех ИСО, поэтому $E^2 - p^2c^2$ тоже не меняется.
• При $m = 0$ получаем $E = pc$ — формула верна и для фотонов.
• Это фундаментальное соотношение релятивистской механики.

• При $v \ll c$ $\;p \approx mv$ — классический импульс.
• При малых скоростях $\gamma \approx 1 + \dfrac{v^2}{2c^2}$, и $E \approx mc^2 + \dfrac{mv^2}{2}$: энергия покоя плюс привычная кинетическая энергия.
• Масса $m = \dfrac{\sqrt{E^2 - p^2c^2}}{c^2}$ от движения не зависит.

Полная энергия — сумма энергии покоя и релятивистской кинетической энергии: $E = mc^2 + E_{\text{к}}$. Отсюда

• При $v \to c$ $\;E_{\text{к}} \to \infty$ — разогнать массовую частицу до скорости света невозможно: скорость массовой частицы всегда меньше $c$.
• Сообщая частице энергию в ускорителе, мы увеличиваем её скорость всё меньше, а энергию и импульс — неограниченно.

Законы Ньютона и классические представления о пространстве и времени — частный случай релятивистских законов при скоростях, много меньших скорости света.

1. Энергия покоя от скорости не зависит: $E_0 = m_pc^2$.
2. $E_0 = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 9 \cdot 10^{16} \approx 1{,}5 \cdot 10^{-10}$ Дж, после умножения на $10^{10}$ — $1{,}5$.

1. $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \dfrac{1}{0{,}6} = \dfrac53$.
2. $E_{\text{к}} = (\gamma - 1)m_pc^2 = \dfrac23 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-10} \approx 1 \cdot 10^{-10}$ Дж.
3. $E_{\text{к}} \approx 0{,}1$ нДж.

1. $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9025}} = \dfrac{1}{0{,}312} \approx 3{,}2$.
2. $E = \gamma mc^2 = 3{,}2 \cdot 3 \cdot 10^{-26} \cdot 9 \cdot 10^{16} \approx 8{,}6 \cdot 10^{-9}$ Дж.
3. $E \approx 8{,}6$ нДж.

1. Энергия покоя $mc^2$ не меняется; сообщённая энергия идёт в кинетическую — полная энергия растёт: 1.
2. С ростом кинетической энергии растёт и скорость, хотя и оставаясь меньше $c$: 1.

1. $E = 2mc^2$, значит, кинетическая энергия $E_{\text{к}} = E - mc^2 = mc^2$.
2. Работа поля $eU = E_{\text{к}} = m_ec^2$.
3. $U = \dfrac{m_ec^2}{e} = \dfrac{9{,}1 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 512$ кВ $\approx 0{,}5$ МВ.

• Безмассовые частицы (фотон): $E = pc$, всегда летят со скоростью $c$.
• Энергия покоя $E_0 = mc^2$; полная энергия $E = \gamma mc^2$, импульс $p = \gamma mv$.
• $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$ — одинаково во всех ИСО; масса от движения не зависит.
• $E_{\text{к}} = (\gamma - 1)mc^2 \to \infty$ при $v \to c$: массовая частица медленнее света.
• Принцип соответствия: при $v \ll c$ — механика Ньютона.