Среднее, медиана, размах, мода

Пример 1 (с. 217). Отметки ученика по математике: $4, 4, 3, 3, 4, 5, 4$. «Средний балл» — среднее арифметическое, частное суммы чисел и их количества: $\dfrac{27}{7} \approx 3{,}86$.

Оно близко к отметке «4» — она в ряду встречается чаще других.

Если значение $x_i$ встречается $m_i$ раз, удобно считать $\bar x = \dfrac{x_1m_1 + x_2m_2 + \ldots}{m_1 + m_2 + \ldots}$: $\ \dfrac{3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 1}{7} = \dfrac{27}{7}$.

Мода — значение, которое встречается в совокупности чаще других. В примере 1 мода — $4$.

Мода годится и для нечисловых данных: цвета автомобилей «белый, чёрный, синий, белый, синий, белый» — мода «белый». Так определяют самые популярные товары.

Мод может быть несколько: в ряду $2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10$ две моды — $6$ и $9$.

Выпишем данные в порядке неубывания. Медиана делит ряд на две равные по количеству части: сколько значений не больше медианы, столько же не меньше её.

Нечётное число членов — медиана в середине: в ряду $2, 6, 6, 6, \mathbf{8}, 9, 9, 9, 10$ медиана $8$.

Чётное число членов — среднее арифметическое двух средних: $2, 6, 6, \mathbf{6}, \mathbf{8}, 9, 9, 10$ — медиана $\dfrac{6 + 8}{2} = 7$. Если два средних равны ($2, 6, 6, 6, 9, 10$), медиана — это число, $6$.

Размах — разность между наибольшим и наименьшим значениями. В ряду $2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 10$ размах $10 - 2 = 8$.

Размах показывает, насколько сильно разбросаны данные, но зависит только от двух крайних значений.

1. Сумма $1100$, среднее $\dfrac{1100}{10} = 110$.
2. Мода $10$ (встречается $4$ раза). Ряд уже упорядочен; $5$-й и $6$-й члены — $10$ и $10$, медиана $10$.
3. Размах $1000 - 5 = 995$.
4. Среднее $110$ плохо описывает «типичный» взнос: его поднял один большой вклад. Медиана $10$ говорит, что половина взносов не больше $10$. Медиана устойчива к выбросам, среднее — нет.

1. Среднее: $\dfrac{580}{20} = 29$.
2. Мода $30$ — встречается $4$ раза.
3. Членов $20$ — чётное число, средние — $10$-й и $11$-й: $28$ и $30$. Медиана $\dfrac{28 + 30}{2} = 29$.
4. Размах $36 - 23 = 13$.

Характеристикой разброса служит и набор отклонений $x_i - \bar x$. В примере с вкладами: $-105, -105, -105, -100, -100, -100, -100, -90, -85, +890$.

Сумма отклонений всегда равна нулю: $\ (x_1 - \bar x) + \ldots + (x_n - \bar x) = (x_1 + \ldots + x_n) - n\bar x = n\bar x - n\bar x = 0$.

Поэтому сумма отклонений не годится как характеристика: положительные и отрицательные взаимно уничтожаются. Отклонения возводят в квадрат.

Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние) — среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего. В математической статистике и теории вероятностей — самая употребительная мера отклонения от среднего.

Чем больше дисперсия, тем сильнее данные разбросаны вокруг среднего. Если все значения равны, $D = 0$.

$\sqrt D$ называют стандартным (среднеквадратичным) отклонением — оно измеряется в тех же единицах, что и данные.

1. Июль: $\bar x = \dfrac{119}{7} = 17$. Отклонения $-2, -2, 1, 2, 2, -1, 0$, квадраты $4, 4, 1, 4, 4, 1, 0$: $\ D = \dfrac{18}{7} \approx 2{,}57$.
2. Август: $\bar x = \dfrac{80}{5} = 16$. Отклонения $3, 1, -1, -1, -2$, квадраты $9, 1, 1, 1, 4$: $\ D = \dfrac{16}{5} = 3{,}2$.
3. Дисперсия июля меньше: в августе температура отклонялась от своего среднего сильнее.

1. Первый: сумма $85$, $\bar x = 8{,}5$. Отклонения $\pm0{,}5$ (четыре раза) и $\pm1{,}5$ (шесть раз): $D = \dfrac{4 \cdot 0{,}25 + 6 \cdot 2{,}25}{10} = \dfrac{14{,}5}{10} = 1{,}45$.
2. Второй: сумма $80$, $\bar x = 8$. Квадраты отклонений $1, 4, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1$: $D = \dfrac{10}{10} = 1$.
3. Первый стрелок в среднем выбивает больше очков, второй стреляет стабильнее (меньше разброс).

№ 732. а) Если все значения увеличить (уменьшить) на одно и то же число $c$, дисперсия не изменится: среднее тоже сдвинется на $c$, отклонения $(x_i + c) - (\bar x + c) = x_i - \bar x$ те же.

б) Если все значения увеличить в $k$ раз, дисперсия увеличится в $k^2$ раз: среднее станет $k\bar x$, отклонения $kx_i - k\bar x = k(x_i - \bar x)$, их квадраты умножатся на $k^2$.

Это упрощает счёт: у цен $9200, 8800, 9200, 8800, 8600$ вычтем $8600$ и разделим на $100$ — получим $6, 2, 6, 2, 0$; дисперсию результата умножим на $100^2$.

Сверх учебника, для ЕГЭ №6. Часто данные — лишь выборка из большой совокупности (цены в нескольких магазинах). Дисперсию всей совокупности оценивают по выборке.

Если делить на $n$, оценка в среднем получается заниженной. Несмещённая оценка дисперсии — та же сумма квадратов отклонений, делённая на $n - 1$.

1. Среднее: $\dfrac{198}{9} = 22$.
2. Отклонения $0, -2, 0, -2, 1, 2, 0, 2, -1$; квадраты $0, 4, 0, 4, 1, 4, 0, 4, 1$, сумма $18$.
3. $S^2 = \dfrac{18}{9 - 1} = 2{,}25$.

1. Среднее: $\dfrac{44\,600}{5} = 8920$.
2. Отклонения $280, -120, 280, -120, -320$; квадраты $78\,400$, $14\,400$, $78\,400$, $14\,400$, $102\,400$, сумма $288\,000$.
3. $S^2 = \dfrac{288\,000}{5 - 1} = 72\,000$.
4. Проверка свойством дисперсии: $\dfrac{9200 - 8600}{100}, \ldots$ дают $6, 2, 6, 2, 0$; среднее $3{,}2$, сумма квадратов отклонений $28{,}8$; $\ 28{,}8 \cdot 100^2 : 4 = 72\,000$.

• Среднее — сумма, делённая на количество; мода — самое частое значение; размах — максимум минус минимум.
• Медиана — середина упорядоченного ряда; при чётном $n$ — полусумма двух средних.
• Медиана устойчива к выбросам, среднее — нет.
• Сумма отклонений от среднего равна $0$; дисперсия — среднее квадратов отклонений.
• Сдвиг данных не меняет дисперсию, умножение на $k$ умножает её на $k^2$; оценка по выборке — делим на $n - 1$.