Степени и корни — теория ЕГЭ по профильной математике, задание 8

◆

база 7–9 класса

Степень — это короткая запись умножения:

a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a

(

n

раз). Отрицательный показатель переворачивает дробь:

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

. Корень — обратная операция:

\sqrt{a}

это число, квадрат которого равен

a

.

Три правила, без которых дальше никак3

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .

При делении вычитаются: $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ . При возведении в степень умножаются: $(a^m)^n = a^{mn}$ .

Корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ . Отсюда $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ .

Суть и формулы

Свойства степеней: $a^m a^n = a^{m+n}$ , $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ , $(ab)^n = a^n b^n$ .
Отрицательный показатель — переворот: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ . Дробный — корень: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ .
Корни: $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ , $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для неотрицательных); $\sqrt{a^2} = |a|$ .
Типовой ход №8: привести всё к одному основанию ( $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $0{,}2 = 5^{-1}$ ) и работать с показателями.
Иррациональность в знаменателе убирается домножением на сопряжённое: $\dfrac{1}{\sqrt{5}-2} = \dfrac{\sqrt{5}+2}{1} = \sqrt{5}+2$ .

Типичные ошибки

$(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$ и $\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — свойства работают для произведений, не для сумм.
$\sqrt{a^2} = |a|$ , а не $a$ : при отрицательном $a$ теряется знак.
Складывают степени при умножении РАЗНЫХ оснований: $2^3 \cdot 3^2$ не упрощается в одну степень.

Разобранные примеры

Найдите значение выражения

\dfrac{8^{1/3}\cdot 4^{2}}{2^{5}}

.разбор

Ответ:

1

Найдите значение выражения

\dfrac{\sqrt{45}\cdot\sqrt{5}}{3}

.разбор

Ответ:

5