Вычисления и преобразования

Логарифмы

Никольский «Алгебра 11», логарифмы

Суть и формулы

Определение: $\log_a b = c \iff a^c = b$ (при $a > 0$ , $a \ne 1$ , $b > 0$ ). Логарифм — это показатель степени.
Свойства: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ ; $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ ; $\log_a x^k = k\log_a x$ .
Переход к новому основанию: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ ; частный случай $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ .
Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$ . Частности: $\log_a a = 1$ , $\log_a 1 = 0$ .
Степень из основания: $\log_{a^m} b = \dfrac{1}{m}\log_a b$ .

Типичные ошибки

$\log_a(x+y)$ не раскладывается ни в какую сумму — свойство только для произведения.
Путают $\log_a x^k = k\log_a x$ и $(\log_a x)^k$ — это разные вещи.
Забывают тождество $a^{\log_a b} = b$ и «не видят» ответ в выражениях вида $5^{\log_5 7}$ .

Разобранные примеры

Найдите значение выражения

\log_3 45-\log_3 5

.разбор

Разность логарифмов с одним основанием — логарифм частного: $\log_3\dfrac{45}{5}$ .
$\log_3 9=2$ , потому что $3^2=9$ .

Ответ:

2

Найдите значение выражения

9^{\log_3 7}

.разбор

Ответ:

49