Тригонометрические преобразования — теория ЕГЭ по профильной математике, задание 8

◆

база 7–9 класса

Формулы сокращённого умножения — рабочий инструмент, а не украшение:

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

и

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

.

Где они выручают3

Разность квадратов сокращает дроби: $\dfrac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b$ .

Квадрат суммы позволяет свернуть выражение и увидеть полный квадрат — это нужно и в тригонометрии, и в задачах с параметром.

Ошибка, которую делают почти все: $(a+b)^2 \ne a^2 + b^2$ . Средний член $2ab$ терять нельзя.

Суть и формулы

Основное тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ ; $\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ; $1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ .
Двойной угол: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ ; $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ .
Формулы приведения без зубрёжки: для $\pi \pm \alpha$ , $2\pi \pm \alpha$ функция сохраняется; для $\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ , $\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha$ — меняется на кофункцию. Знак — по четверти исходного угла.
В №8 часто дано $\sin\alpha$ и четверть — найти $\cos\alpha$ через тождество, знак взять по четверти.
Периодичность: $\sin$ и $\cos$ — период $2\pi$ , $\mathrm{tg}$ — период $\pi$ ; большие углы сводим вычитанием периодов.

Типичные ошибки

Теряют знак при извлечении корня из $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ — знак диктует четверть.
В формулах приведения определяют знак по конечной функции, а надо — по исходной в её четверти.
Путают $\cos 2\alpha$ и $2\cos\alpha$ — двойной угол не выносится множителем.

Разобранные примеры

Найдите значение выражения

\dfrac{5\sin(\pi-\alpha)}{\sin\alpha}

.разбор

Ответ:

5

Найдите

\dfrac{\sin 2\alpha}{\cos\alpha}

, если

\sin\alpha=0{,}3

.разбор

Ответ:

0{,}6