Алгебра
Выражения: от одночлена до степени

Формулы сокращённого умножения

Никольский «Алгебра 7», § 6
Три главные формулы
  • Квадрат суммы: (a+b)2=a2+2ab+b2.(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
  • Квадрат разности: (a−b)2=a2−2ab+b2.(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
  • Разность квадратов: a2−b2=(a−b)(a+b).a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
  • Формулы работают в обе стороны: и для раскрытия, и для разложения на множители.
  • Выделение полного квадрата: x2+6x+5=(x+3)2−4x^2 + 6x + 5 = (x+3)^2 - 4 — основа для вершины параболы и уравнений.
Типичные ошибки
  • «Забывают» удвоенное произведение: (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \ne a^2 + b^2.
  • Путают знак в квадрате разности: средний член −2ab-2ab, а квадраты всегда с плюсом.
  • Пытаются разложить сумму квадратов a2+b2a^2 + b^2 — она не раскладывается (в действительных числах).
Разобранные примеры
Найдите значение выражения 512−4922\dfrac{51^2-49^2}{2}.разбор
  1. Разность квадратов: 512−492=(51−49)(51+49)=2⋅100=20051^2-49^2=(51-49)(51+49)=2\cdot100=200.
  2. 2002=100\dfrac{200}{2}=100. Возводить в квадрат было не нужно.
Ответ: 100100
Разложите на множители x2−10x+25x^2-10x+25.разбор
  1. Похоже на квадрат разности: x2−2⋅5x+52x^2-2\cdot5x+5^2.
  2. =(x−5)2=(x-5)^2.
Ответ: (x−5)2(x-5)^2
Одночлены и многочленыАлгебраические дроби