Уравнения

Рациональные и квадратные уравнения

Никольский «Алгебра 9–10»

◆

база 7–9 класса

Квадратное уравнение

ax^2 + bx + c = 0

решается через дискриминант

D = b^2 - 4ac

. Если

D > 0

— два корня,

D = 0

— один,

D < 0

— корней нет.

Формула корней и как не ошибиться3

Корни: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . Знак перед $b$ меняется на противоположный — это самая частая ошибка.

Теорема Виета для приведённого $x^2 + px + q = 0$ : сумма корней равна $-p$ , произведение равно $q$ . Часто быстрее дискриминанта.

Перед решением приведи уравнение к виду $ax^2 + bx + c = 0$ : перенеси всё в одну часть и приведи подобные.

Суть и формулы

Квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ : дискриминант $D = b^2 - 4ac$ , корни $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .
Теорема Виета: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$ — быстрый подбор целых корней и проверка.
Дробно-рациональное уравнение: перенести всё в одну часть, привести к общему знаменателю, приравнять числитель к нулю И выбросить нули знаменателя.
Если в №7 у уравнения два корня, в ответ обычно просят один (больший/меньший) — дочитывайте условие.
Разложение на множители — главный универсальный приём: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой (а остальные определены).

Типичные ошибки

Не проверяют корни по знаменателю — посторонний корень из нуля знаменателя.
Делят обе части на выражение с $x$ и теряют корень: не делить, а выносить множитель.
Пишут в бланк оба корня, когда просят один конкретный.

Разобранные примеры

Найдите корень уравнения

\dfrac{x+4}{x-2}=3

.разбор

Ответ:

5

Найдите меньший корень уравнения

x^2-7x+12=0

.разбор

Ответ:

3