Уравнения

Показательные и логарифмические уравнения

Никольский «Алгебра 11»

Суть и формулы

Показательное: привести к одному основанию — $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x)$ . Числа маскируются: $8 = 2^3$ , $\dfrac{1}{9} = 3^{-2}$ , $1 = a^0$ .
Логарифмическое: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x)$ при $f, g > 0$ ; $\log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a^b$ по определению.
ОДЗ логарифмического уравнения: аргументы положительны. В простых №7 достаточно проверить найденный корень подстановкой.
Замена $t = a^x$ ( $t > 0$ ) сводит уравнение вида $a^{2x} + p\,a^x + q = 0$ к квадратному; отрицательные $t$ отбрасываются.
Показательная функция всегда положительна: уравнение $a^x =$ отрицательное число решений не имеет.

Типичные ошибки

Не проверяют корень логарифмического уравнения — а он делает аргумент отрицательным.
После замены $t = a^x$ выдают в ответ $t$ вместо $x$ .
«Сокращают» логарифмы с разными основаниями как дроби.

Разобранные примеры

Решите уравнение

5^{\,x-3}=125

.разбор

Ответ:

6

Решите уравнение

\log_2(x-5)=3

.разбор

Ответ:

13