Уравнения

Иррациональные уравнения

Никольский «Алгебра 10»

Суть и формулы

База: $\sqrt{f(x)} = a$ при $a \ge 0$ равносильно $f(x) = a^2$ ; при $a < 0$ решений нет.
$\sqrt{f(x)} = g(x)$ : возводим в квадрат, но требуем $g(x) \ge 0$ — иначе ловим посторонние корни.
После возведения в квадрат ПРОВЕРКА подстановкой обязательна — возведение в квадрат не равносильное преобразование.
$\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно $f(x) = g(x)$ при $f(x) \ge 0$ (одного условия хватает).
Корень чётной степени неотрицателен: уравнение $\sqrt{x+3} = -2$ решений не имеет — и это полноценный ответ.

Типичные ошибки

Возводят в квадрат и не проверяют — посторонний корень уходит в бланк.
«Решают» $\sqrt{f} = -2$ , возводя в квадрат, вместо того чтобы сразу увидеть пустое множество.
Возводят в квадрат сумму корней почленно: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$ , среднее слагаемое теряют.

Разобранные примеры

Решите уравнение

\sqrt{2x+7}=5

.разбор

Ответ:

9

Найдите больший корень уравнения

\sqrt{x^2-3x}=2

.разбор

Возводим в квадрат: $x^2-3x=4$ , то есть $x^2-3x-4=0$ .
$D=9+16=25$ , корни $x=4$ и $x=-1$ .
Проверяем оба: при $x=4$ подкоренное $16-12=4$ , при $x=-1$ — $1+3=4$ . Годятся оба, больший $4$ .

Ответ:

4