Уравнения

Тригонометрические уравнения и отбор корней

Никольский «Алгебра 10», тригонометрические уравнения

Суть и формулы

Простейшие: $\cos x = a \Rightarrow x = \pm\arccos a + 2\pi n$ ; $\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ ; $\mathrm{tg}\,x = a \Rightarrow x = \mathrm{arctg}\,a + \pi n$ .
Частные случаи держать наизусть: $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$ ; $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ ; $\sin x = \pm 1$ , $\cos x = \pm 1$ — свои серии.
Методы пункта а): разложение на множители (вынести общий множитель, произведение = 0), замена $t = \sin x$ или $t = \cos x$ (через $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ), однородные уравнения — деление на $\cos^2 x$ с проверкой $\cos x = 0$ .
Пункт б) — отбор корней на отрезке. Способ 1: тригонометрическая окружность — отметить серии, выделить дугу отрезка. Способ 2: двойное неравенство на $n$ — решить его в целых числах.
Записывайте обоснование отбора (окружность или неравенства) — голый ответ в б) стоит ноль.

Типичные ошибки

Делят на $\cos x$ без проверки случая $\cos x = 0$ — теряют серию корней.
Пишут период $2\pi n$ у тангенса — у него период $\pi$ .
При отборе перебирают $n$ наугад и теряют крайние корни отрезка — двойное неравенство надёжнее.

Разобранные примеры

Решите уравнение

2\cos x=\sqrt3

и укажите корни на отрезке

[\pi;\,2\pi]

.разбор

$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , значит $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ .
Серия $x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ : при $k=0$ это $\dfrac{\pi}{6}<\pi$ , при $k=1$ — $\dfrac{13\pi}{6}>2\pi$ . Не подходит.
Серия $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ : при $k=1$ получаем $\dfrac{11\pi}{6}$ — это внутри $[\pi;2\pi]$ .

Ответ:

\dfrac{11\pi}{6}

Найдите наименьший корень уравнения

\sin x=0

на отрезке

[2\pi;\,3{,}5\pi]

.разбор

Ответ:

2\pi