Алгебра
Неравенства

Метод интервалов

Никольский «Алгебра 9–10»
◆

Что нужно помнить из 7–9 класса

база 7–9 класса
Метод интервалов: находим нули, отмечаем на прямой, определяем знак на каждом промежутке.
Порядок действий3

Перенеси всё в левую часть, чтобы справа остался ноль, и разложи на множители.

Отметь корни на прямой. Строгое неравенство — точки выколотые, нестрогое — закрашенные.

Знак определяй подстановкой любой точки из промежутка: считать всё выражение не нужно, достаточно знаков множителей.

Подробно — в уроке ОГЭ
Суть
  • Алгоритм: всё в одну сторону → разложить на множители → корни числителя и знаменателя на ось → знаки по интервалам → выбрать нужные.
  • Знаки удобно ставить так: справа от наибольшего корня знак старшего коэффициента, при переходе через корень НЕЧЁТНОЙ кратности знак меняется, чётной — сохраняется.
  • Нули знаменателя всегда выколоты; нули числителя закрашены при нестрогом знаке и выколоты при строгом.
  • Нельзя умножать неравенство на выражение с переменной неизвестного знака — только переносить и раскладывать.
  • Ответ №16 — объединение промежутков; проверяйте граничные точки отдельно.
Типичные ошибки
  • Домножают на знаменатель и теряют смену знака на его отрицательных значениях.
  • Включают в ответ нули знаменателя.
  • Забывают смену/сохранение знака на кратных корнях: (x−2)2(x-2)^2 знак не меняет.
Разобранные примеры
Решите неравенство (x−1)(x+4)≤0(x-1)(x+4)\le 0.разбор
  1. Нули: x=1x=1 и x=−4x=-4. Отмечаем на прямой, знаки чередуются: + − ++\ -\ +.
  2. Нужен минус, неравенство нестрогое — концы включаем: x∈[−4; 1]x\in[-4;\,1].
Ответ: [−4; 1][-4;\,1]
Решите неравенство x−2x+5≥0\dfrac{x-2}{x+5}\ge 0.разбор
  1. Нули числителя: x=2x=2 (включаем). Нуль знаменателя: x=−5x=-5 (выкалываем всегда).
  2. Знаки на прямой: + − ++\ -\ +. Нужен плюс: x∈(−∞;−5)∪[2;+∞)x\in(-\infty;-5)\cup[2;+\infty).
Ответ: (−∞;−5)∪[2;+∞)(-\infty;-5)\cup[2;+\infty)
Тригонометрические уравнен…Показательные неравенства