Неравенства
Квадратные неравенства и метод интервалов
Никольский «Алгебра 9», § 2–3
Через параболу
- Реши уравнение ax2+bx+c=0 и представь параболу: где она ниже оси, там выражение отрицательно.
- При a>0, D>0: решение «<0» — между корнями, «>0» — вне корней.
- D<0 и a>0: выражение положительно ВСЕГДА — ответ либо вся прямая, либо пустое множество.
- Метод интервалов для любых произведений: нули на ось, знаки чередуются по интервалам (следи за чётными степенями — там знак не меняется).
Как решать
- Найди нули, нарисуй эскиз параболы или ось со знаками.
- Выбери интервалы нужного знака, проверь концы (строго/нестрого).
- Одна проверочная точка внутри интервала подтверждает знак.
Разобранные примеры
Решите неравенство x2−5x+6>0.разбор
- Нули: x2−5x+6=0, корни 2 и 3.
- Парабола ветвями вверх: плюс вне корней, минус между ними.
- x∈(−∞;2)∪(3;+∞).
Ответ:
(−∞;2)∪(3;+∞)Решите неравенство x2≤9.разбор
- Переносим: x2−9≤0, то есть (x−3)(x+3)≤0.
- Минус между корнями, концы включаем: x∈[−3;3].
- Ответ x≤3 — ошибка: отрицательные значения тоже ограничены.
Ответ:
[−3;3]