Алгебра
Прогрессии

Арифметическая прогрессия

Никольский «Алгебра 9», § 7
Формулы
  • Каждый член получается прибавлением разности dd: an+1=an+da_{n+1} = a_n + d.
  • nn-й член: an=a1+(n−1) d.a_n = a_1 + (n-1)\,d.
  • Сумма первых nn членов: Sn=a1+an2⋅n.S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.
  • Характеристическое свойство: каждый член — среднее арифметическое соседей.
Типичные ошибки
  • Пишут an=a1+nda_n = a_1 + nd, теряя (n−1)(n-1).
  • В сумме берут не nn членов, а номер последнего — это разные вещи, если прогрессия начата не с a1a_1.
Разобранные примеры
В арифметической прогрессии a1=7a_1=7, d=4d=4. Найдите a12a_{12}.разбор
  1. an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d.
  2. a12=7+11⋅4=7+44=51a_{12}=7+11\cdot4=7+44=51. Множитель n−1n-1, а не nn.
Ответ: 5151
Найдите сумму первых 2020 членов прогрессии 3, 7, 11, …3,\ 7,\ 11,\ \dotsразбор
  1. d=4d=4, a20=3+19⋅4=79a_{20}=3+19\cdot4=79.
  2. S20=3+792⋅20=41⋅20=820S_{20}=\dfrac{3+79}{2}\cdot20=41\cdot20=820.
Ответ: 820820
Квадратные неравенства и м…Геометрическая прогрессия