Алгебра
Прогрессии

Геометрическая прогрессия

Никольский «Алгебра 9», § 8
Формулы
  • Каждый член получается умножением на знаменатель qq: bn+1=bn⋅qb_{n+1} = b_n \cdot q.
  • nn-й член: bn=b1⋅q n−1.b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}.
  • Сумма первых nn членов: Sn=b1(qn−1)q−1,q≠1.S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}, \quad q \ne 1.
  • Характеристическое свойство: bn2=bn−1⋅bn+1b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}.
Как решать
  • Определи тип прогрессии: постоянная разность или постоянное отношение.
  • Выпиши известное и подбери формулу; для проверки выпиши первые члены руками.
Разобранные примеры
В геометрической прогрессии b1=2b_1=2, q=3q=3. Найдите b5b_5.разбор
  1. bn=b1q n−1b_n=b_1q^{\,n-1}.
  2. b5=2⋅34=2⋅81=162b_5=2\cdot3^4=2\cdot81=162.
Ответ: 162162
Найдите сумму первых четырёх членов прогрессии 1, 2, 4, 8,…1,\ 2,\ 4,\ 8,\dotsразбор
  1. q=2q=2, S4=b1(q4−1)q−1=1⋅(16−1)1S_4=\dfrac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\dfrac{1\cdot(16-1)}{1}.
  2. =15=15. Проверка сложением: 1+2+4+8=151+2+4+8=15.
Ответ: 1515
Арифметическая прогрессияВероятность