Неравенства

Показательные неравенства

Никольский «Алгебра 11»

Суть

$a^{f(x)} > a^{g(x)}$ : при $a > 1$ знак сохраняется ( $f > g$ ), при $0 < a < 1$ — ПЕРЕВОРАЧИВАЕТСЯ ( $f < g$ ). Это главное правило темы.
Всё к одному основанию: $4^x = 2^{2x}$ , $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$ — отрицательный показатель часто удобнее дробного основания.
Замена $t = a^x > 0$ превращает неравенство в квадратное по $t$ ; после решения вернуться к $x$ , помня про $t > 0$ .
Выносите общий множитель: $2^{x+2} - 2^x = 2^x(4 - 1) = 3\cdot 2^x$ .
Показательная функция положительна: $a^x > -5$ верно всегда, $a^x < 0$ — никогда.

Типичные ошибки

Забывают перевернуть знак при основании меньше единицы.
После замены записывают ответ в $t$ , не возвращаясь к $x$ .
Отбрасывают условие $t > 0$ и тащат отрицательный корень квадратного уравнения в решение.

Разобранные примеры

Решите неравенство

2^{\,x}>8

.разбор

Ответ:

x>3

Решите неравенство

0{,}5^{\,x}\ge 4

.разбор

Ответ:

x\le -2