Алгебра
Неравенства

Логарифмические неравенства

Никольский «Алгебра 11»
Суть
  • Первый шаг всегда — ОДЗ: все аргументы логарифмов положительны (и основания корректны). Ответ — пересечение решения с ОДЗ.
  • log⁡af>log⁡ag\log_a f > \log_a g: при a>1a > 1 знак сохраняется, при 0<a<10 < a < 1 переворачивается — как у показательных.
  • Число превращаем в логарифм: 2=log⁡392 = \log_3 9 — чтобы сравнивать логарифмы с одним основанием.
  • Замена t=log⁡axt = \log_a x сводит к квадратному; удобна, когда логарифм встречается и в квадрате, и в первой степени.
  • Стандартная схема оформления: система из ОДЗ + преобразованное неравенство, обе части на одной оси, пересечение.
Типичные ошибки
  • Решают без ОДЗ — лишние промежутки в ответе, задача на 0 баллов.
  • Забывают переворот знака при основании между 0 и 1.
  • Пересечение ОДЗ с решением делают «на глаз» без общей числовой оси и теряют концы промежутков.
Разобранные примеры
Решите неравенство log⁡2(x−1)<3\log_2(x-1)<3.разбор
  1. ОДЗ: x−1>0x-1>0, то есть x>1x>1. Про него забывают чаще всего.
  2. Основание 2>12>1: x−1<23=8x-1<2^3=8, значит x<9x<9.
  3. Пересекаем с ОДЗ: 1<x<91<x<9.
Ответ: (1; 9)(1;\,9)
Решите неравенство log⁡0,5x≥−2\log_{0{,}5}x\ge -2.разбор
  1. ОДЗ: x>0x>0.
  2. Основание 0,5<10{,}5<1 — знак переворачивается: x≤0,5−2=4x\le 0{,}5^{-2}=4.
  3. С учётом ОДЗ: x∈(0; 4]x\in(0;\,4].
Ответ: (0; 4](0;\,4]
Показательные неравенстваЗадачи на движение