Текстовые задачи

Работа и производительность

Прототипы ФИПИ, банк ЕГЭ

Суть

Аналог движения: $A = pt$ (работа = производительность × время). Если объём работы не задан, берём его за 1.
Совместная работа: производительности складываются. Двое за $t_1$ и $t_2$ часов вместе: $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{t_{\text{вместе}}}$ .
«Первая труба пропускает на 4 литра меньше» — уравнение по разности времён: $\dfrac{V}{x} - \dfrac{V}{x+4} = \Delta t$ .
За $x$ выгодно брать производительность того, о ком спрашивают.
Проверка ответа подстановкой в текст задачи (не в уравнение!) ловит арифметику и неверную модель.

Типичные ошибки

Складывают времена вместо производительностей: «вместе за $t_1 + t_2$ » — неверно.
Путают, кто быстрее: «на 4 меньше литров в минуту» означает бОльшее время.
Теряют смысл корня: производительность не может быть отрицательной.

Разобранные примеры

Первый рабочий за час делает на

9

деталей больше второго и выполняет заказ из

216

деталей на

4

часа быстрее. Сколько деталей в час делает ВТОРОЙ рабочий?разбор

Пусть второй делает $x$ деталей в час, тогда первый — $x+9$ .
$\dfrac{216}{x}-\dfrac{216}{x+9}=4$ . Умножаем на $x(x+9)$ : $216\cdot 9=4x(x+9)$ .
$1944=4x^2+36x$ , то есть $x^2+9x-486=0$ . $D=81+1944=2025$ , $\sqrt D=45$ .
$x=\dfrac{-9+45}{2}=18$ . Спрашивают второго — ответ $18$ , а не $27$ (это первый).

Ответ:

18

деталей в час

Двое рабочих вместе выполняют работу за

6

часов, а один из них в одиночку — за

10

часов. За сколько часов сделает работу второй?разбор

Берём всю работу за $1$ . Производительности складываются: вместе $\dfrac{1}{6}$ в час, первый $\dfrac{1}{10}$ .
Второй: $\dfrac16-\dfrac1{10}=\dfrac{5-3}{30}=\dfrac{2}{30}=\dfrac1{15}$ .
Значит $15$ часов. Складывать можно производительности, но не времена.

Ответ:

15