Текстовые задачи

Смеси, сплавы, проценты

Прототипы ФИПИ, банк ЕГЭ

◆

Что нужно помнить из 7–9 класса

база 7–9 класса

Процент — это сотая часть:

p\%

от числа

a

равны

a \cdot \dfrac{p}{100}

Три типа, которые встречаются в задачах3

Найти часть: $p\%$ от $a$ это $a \cdot p / 100$ .

Найти целое по части: если $p\%$ равны $b$ , то целое равно $b \cdot 100 / p$ .

Увеличить на $p\%$ — умножить на $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$ , уменьшить — на $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$ . В задачах на сплавы считают массу чистого вещества, а не проценты.

Подробно — в уроке ОГЭ

Суть

Считаем МАССУ чистого вещества: концентрация $\times$ масса раствора. При смешивании массы вещества и растворов складываются.
Схема: $c_1 m_1 + c_2 m_2 = c_3(m_1 + m_2)$ , концентрации в долях.
Добавили воду — масса вещества не изменилась, масса раствора выросла; выпарили воду — наоборот.
Последовательные изменения на проценты перемножаются: подорожало на 20%, подешевело на 20% — итог $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ , минус 4%.
«Процент от нового» и «процент от старого» — разные числа; всегда фиксируйте, от чего берётся процент.

Типичные ошибки

Складывают концентрации напрямую: смешав 10% и 30%, не получают 40%.
Проценты складывают вместо перемножения коэффициентов.
Забывают, что при выпаривании вещество сохраняется, и составляют уравнение по массе раствора.

Разобранные примеры

Смешали

4

кг раствора с концентрацией

15\%

6

кг с концентрацией

25\%

. Какова концентрация смеси?разбор

Считаем чистое вещество: $4\cdot0{,}15=0{,}6$ кг и $6\cdot0{,}25=1{,}5$ кг, всего $2{,}1$ кг.
Масса смеси $4+6=10$ кг. Концентрация $\dfrac{2{,}1}{10}=0{,}21=21\%$ .
Проценты не усредняют «пополам» — считают через массу вещества.

Ответ:

21\%

Цену товара сначала повысили на

20\%

, а потом снизили на

20\%

. На сколько процентов итоговая цена отличается от исходной?разбор

Повышение — умножение на $1{,}2$ , снижение — на $0{,}8$ .
$1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$ , то есть $96\%$ от исходной.
Цена НИЖЕ исходной на $4\%$ : проценты берутся от разных величин.

Ответ: ниже на

4\%

Работа и производительность Прогрессии