Алгебра
Текстовые задачи

Прогрессии

Никольский «Алгебра 9», прогрессии
◆

Что нужно помнить из 7–9 класса

база 7–9 класса
Арифметическая прогрессия: каждый следующий член больше предыдущего на dd. an=a1+d(n−1)a_n = a_1 + d(n-1).
Формулы, которые нужны3

Сумма первых nn членов: Sn=2a1+d(n−1)2⋅nS_n = \dfrac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n.

Геометрическая прогрессия: bn=b1qn−1b_n = b_1 q^{n-1}, сумма Sn=b1qn−1q−1S_n = b_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1} при q≠1q \ne 1.

Проверь, с какого члена начинается отсчёт: путаница между nn и n−1n-1 — типичная потеря балла.

Подробно — в уроке ОГЭ
Суть и формулы
  • Арифметическая: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d; сумма Sn=a1+an2⋅nS_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n. Каждый член — среднее арифметическое соседей.
  • Геометрическая: bn=b1qn−1b_n = b_1 q^{n-1}; сумма Sn=b1qn−1q−1S_n = b_1\dfrac{q^n - 1}{q - 1}.
  • Маркеры в тексте: «каждый день на столько-то больше» — арифметическая; «в столько-то раз» — геометрическая.
  • Типовая задача: «всего за nn дней проехал SS, каждый день на dd больше» — система из SnS_n и ana_n.
  • Полезно выписать первые 3–4 члена руками — модель сразу проверяется.
Типичные ошибки
  • Путают «на» (арифметическая) и «в» (геометрическая).
  • В an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d пишут ndnd — сдвиг на один день.
  • В сумме геометрической прогрессии теряются со знаками при q<1q < 1.
Разобранные примеры
В арифметической прогрессии a1=5a_1=5, d=3d=3. Найдите a10a_{10} и сумму первых десяти членов.разбор
  1. a10=a1+9d=5+27=32a_{10}=a_1+9d=5+27=32.
  2. S10=a1+a102⋅10=5+322⋅10=185S_{10}=\dfrac{a_1+a_{10}}{2}\cdot10=\dfrac{5+32}{2}\cdot10=185.
Ответ: a10=32a_{10}=32, S10=185S_{10}=185
В геометрической прогрессии b1=3b_1=3, q=2q=2. Найдите b6b_6.разбор
  1. bn=b1q n−1b_n=b_1q^{\,n-1}, значит b6=3⋅25b_6=3\cdot2^5.
  2. 25=322^5=32, поэтому b6=96b_6=96. Показатель — n−1n-1, а не nn.
Ответ: 9696
Смеси, сплавы, процентыЛинейная, квадратичная, ги…