Алгебра
Функции и графики

Линейная, квадратичная, гипербола

Никольский «Алгебра 9»
Суть
  • Прямая y=kx+by = kx + b: bb — пересечение с осью yy; kk — наклон, считается по двум целым точкам: k=ΔyΔxk = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}.
  • Парабола y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c: cc — точка на оси yy; знак aa — ветви; вершина x0=−b2ax_0 = -\dfrac{b}{2a}. Коэффициенты восстанавливаются по вершине и одной точке.
  • Гипербола y=kx−a+by = \dfrac{k}{x - a} + b: асимптоты x=ax = a, y=by = b читаются прямо с графика, потом kk — по любой точке.
  • Главный приём №12 — подставить ЦЕЛЫЕ отмеченные точки графика в формулу и решить систему на коэффициенты.
  • После нахождения формулы вопрос обычно про значение в точке вне рисунка — просто подстановка.
Типичные ошибки
  • Знак kk прямой определяют по «высоте», а не по направлению (возрастает/убывает).
  • Считают наклон по нецелым точкам «на глаз» — брать только узлы сетки.
  • Путают сдвиги гиперболы: x−ax - a в знаменателе двигает ВПРАВО на aa.
Разобранные примеры
Парабола имеет вершину в точке (2;−3)(2;-3) и проходит через точку (0;1)(0;1). Найдите значение функции при x=3x=3.разбор
  1. Через вершину: y=a(x−2)2−3y=a(x-2)^2-3.
  2. Подставляем (0;1)(0;1): 4a−3=14a-3=1, значит a=1a=1.
  3. y(3)=1⋅(3−2)2−3=1−3=−2y(3)=1\cdot(3-2)^2-3=1-3=-2.
Ответ: −2-2
Гипербола y=kxy=\dfrac{k}{x} проходит через точку (−4; 3)(-4;\,3). Найдите yy при x=6x=6.разбор
  1. k=xy=−4⋅3=−12k=xy=-4\cdot3=-12.
  2. y=−126=−2y=\dfrac{-12}{6}=-2.
Ответ: −2-2
ПрогрессииПоказательная, логарифм, т…