Производная и первообразная
Смысл производной. Задание 9
Никольский «Алгебра 11», производная
Суть
- Производная — скорость изменения функции; геометрически — угловой коэффициент касательной: f′(x0)=tgα=k.
- По графику ФУНКЦИИ: возрастает — f′>0, убывает — f′<0; в точках экстремума f′=0.
- По графику ПРОИЗВОДНОЙ: функция растёт там, где f′ выше оси; точка максимума — смена знака f′ с «+» на «−», минимума — с «−» на «+».
- Значение производной по касательной на клетчатке: взять две целые точки касательной, k=ΔxΔy со знаком.
- «Касательная параллельна y=3x+5» означает f′(x)=3 — считаем точки, где производная равна 3.
- Наибольшее значение функции на отрезке по графику f′: если f′≥0 на всём отрезке — в правом конце; если знак меняется — в точке смены.
Типичные ошибки
- Путают график функции и график производной — первое, что нужно проверить в условии.
- Считают точки максимума по графику производной как её собственные максимумы — нужны НУЛИ f′ со сменой знака.
- Теряют знак углового коэффициента убывающей касательной.
Разобранные примеры
Прямая y=3x−5 касается графика функции y=f(x) в точке с абсциссой x0. Найдите f′(x0).разбор
- Геометрический смысл производной: f′(x0) — угловой коэффициент касательной.
- У прямой y=3x−5 угловой коэффициент равен 3, значит f′(x0)=3.
Найдите точку максимума функции f(x)=x3−12x+5.разбор
- f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2), нули x=±2.
- Слева от −2 производная положительна, между −2 и 2 — отрицательна: знак меняется с + на −.
- Значит x=−2 — точка максимума (в x=2 минимум).