Производная и первообразная

Исследование функции. Задание 17

Никольский «Алгебра 11», производная

Суть и формулы

Таблица производных: $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ , $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Правила: $(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ; сложная функция $(f(g))' = f'(g)\cdot g'$ .
Алгоритм экстремума: $f'(x) = 0$ → корни → знаки $f'$ на интервалах → максимум там, где «+» сменяется на «−».
Наибольшее/наименьшее на отрезке: значения в критических точках ВНУТРИ отрезка и на КОНЦАХ, выбрать нужное.
Точка максимума и максимальное значение — разные ответы: $x_0$ против $f(x_0)$ . Читайте вопрос.
С КИМ-2027 эта техника ушла в задание 17 части 2: в бланк идёт не число, а решение с обоснованием — оформление разобрано в уроке «Прикладной максимум с обоснованием».

Типичные ошибки

В производной сложной функции забывают внутреннюю: $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$ , а не $\cos 2x$ .
Не проверяют концы отрезка при поиске наибольшего значения.
Отвечают значением функции, когда спрашивали точку (и наоборот).

Разобранные примеры

Найдите наименьшее значение функции

f(x)=x^3-3x^2+2

на отрезке

[0;\,3]

.разбор

$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ , критические точки $x=0$ и $x=2$ — обе внутри отрезка или на его конце.
Считаем значения на концах и в критических точках: $f(0)=2$ , $f(2)=8-12+2=-2$ , $f(3)=27-27+2=2$ .
Наименьшее $-2$ . Проверять концы отрезка обязательно.

Ответ:

-2

Найдите наименьшее значение функции

f(x)=x+\dfrac{4}{x}

на отрезке

[1;\,4]

.разбор

$f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=0$ при $x^2=4$ , то есть $x=2$ (корень $-2$ вне отрезка).
$f(1)=5$ , $f(2)=2+2=4$ , $f(4)=4+1=5$ .
Наименьшее значение $4$ .

Ответ:

4