Алгебра
Производная и первообразная

Первообразная и интеграл

Никольский «Алгебра 11», первообразная
Суть и формулы
  • Первообразная: F′=fF' = f. Операция, обратная дифференцированию; определена с точностью до константы +C+C.
  • Формула Ньютона–Лейбница: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).
  • Геометрический смысл: интеграл — площадь под графиком ff (участки ниже оси — со знаком минус).
  • Если на графике дана FF, то f=F′f = F': вопрос «где ff положительна» — это «где FF возрастает».
  • Табличные первообразные: для xnx^n это xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, для cos⁡x\cos x — sin⁡x\sin x, для sin⁡x\sin x — −cos⁡x-\cos x.
Типичные ошибки
  • Путают направление: первообразную дифференцируют «ещё раз» вместо проверки F′=fF' = f.
  • Считают площадь под осью положительной без оговорки о знаке.
  • Теряют минус в первообразной синуса.
Разобранные примеры
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y=2xy=2x, осью OxOx и прямой x=3x=3.разбор
  1. Площадь — определённый интеграл: ∫032x dx\int_0^3 2x\,dx.
  2. Первообразная x2x^2, значит площадь 32−02=93^2-0^2=9.
  3. Проверка по геометрии: это треугольник с катетами 33 и 66, площадь 3⋅62=9\dfrac{3\cdot6}{2}=9.
Ответ: 99
F(x)F(x) — первообразная функции f(x)=3x2f(x)=3x^2, причём F(0)=1F(0)=1. Найдите F(2)F(2).разбор
  1. Общий вид: F(x)=x3+CF(x)=x^3+C.
  2. Из F(0)=1F(0)=1 получаем C=1C=1, то есть F(x)=x3+1F(x)=x^3+1.
  3. F(2)=8+1=9F(2)=8+1=9. Константу CC забывать нельзя.
Ответ: 99
Исследование функции. Зада…Прикладной максимум с обос…