Алгебра
Производная и первообразная

Прикладной максимум с обоснованием. Задание 17

Демоверсия и спецификация ФИПИ ЕГЭ-2027, задание 17
Суть и оформление
  • Задание 17 появилось в КИМ-2027. Техника прежняя — исследование функции производной, — но теперь это часть 2: эксперт читает решение, а не сверяет число в бланке.
  • Схема решения: ввести переменную и записать ограничения на неё → выразить исследуемую величину функцией этой переменной → найти производную → найти нули и знаки → сделать вывод о точке максимума → ответить в единицах вопроса.
  • Обоснование максимума — обязательный пункт: слева от точки f′>0f' > 0, справа f′<0f' < 0, значит функция возрастает, потом убывает, и в этой точке наибольшее значение. Голая таблица знаков без вывода балл не закрывает.
  • Формулировки межпредметные: мощность на нагрузке, амплитуда колебаний, объём коробки, площадь участка. Формулу из физики дают в условии — выводить её не нужно, нужно исследовать.
  • Область допустимых значений пишут до производной: сопротивление и длина положительны, доля лежит в [0; 1][0;\,1]. Если критической точки внутри ОДЗ нет, сравнивают значения на концах.
Типичные ошибки
  • Находят точку и останавливаются: без вывода о характере точки задание не засчитывают полностью.
  • Отвечают точкой максимума там, где спрашивали наибольшее значение (и наоборот).
  • Теряют ограничения переменной и берут корень, которого в задаче физически быть не может.
Разобранные примеры
ЭДС источника ε=50\varepsilon = 50 В, внутреннее сопротивление r=1r = 1 Ом. Мощность на нагрузке P=ε2R(R+r)2P = \dfrac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}. При каком сопротивлении RR мощность наибольшая и чему она равна?разбор
  1. R>0R > 0. Ищем максимум P(R)=2500R(R+1)2P(R) = \dfrac{2500R}{(R + 1)^2}.
  2. P′(R)=2500⋅(R+1)2−R⋅2(R+1)(R+1)4=2500⋅1−R(R+1)3P'(R) = 2500\cdot\dfrac{(R + 1)^2 - R\cdot2(R + 1)}{(R + 1)^4} = 2500\cdot\dfrac{1 - R}{(R + 1)^3}.
  3. При 0<R<10 < R < 1 производная положительна, при R>1R > 1 — отрицательна, значит R=1R = 1 — точка максимума.
  4. P(1)=2500⋅14=625P(1) = \dfrac{2500\cdot1}{4} = 625 Вт.
Ответ: R=1R = 1 Ом, P=625P = 625 Вт
Прямоугольный загон одной стороной примыкает к стене, на остальные три стороны есть 120120 м сетки. При какой ширине площадь загона наибольшая?разбор
  1. Пусть ширина (сторона, перпендикулярная стене) равна xx, тогда 0<x<600 < x < 60, а длина вдоль стены равна 120−2x120 - 2x.
  2. S(x)=x(120−2x)=120x−2x2S(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2, откуда S′(x)=120−4xS'(x) = 120 - 4x.
  3. S′(x)=0S'(x) = 0 при x=30x = 30; слева производная положительна, справа отрицательна — это точка максимума.
  4. S(30)=30⋅60=1800S(30) = 30\cdot60 = 1800 м2^2.
Ответ: x=30x = 30 м, S=1800S = 1800 м2^2
Первообразная и интегралЗадачи с физическими форму…