Треугольники: углы, площади, тригонометрия — теория ЕГЭ по профильной математике, задание 1

◆

база 7–9 класса

Теорема Пифагора

a^2 + b^2 = c^2

, сумма углов треугольника

180^\circ

, площадь

S = \dfrac{1}{2}ah

.

База, на которой стоит вся планиметрия3

В прямоугольном треугольнике синус острого угла — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе.

Площадь через две стороны и угол между ними: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ .

Равнобедренный треугольник: углы при основании равны, высота к основанию является медианой и биссектрисой.

Суть и формулы

Сумма углов треугольника $180°$ ; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Площадь: $S = \dfrac{1}{2}ah$ , $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ ; для прямоугольного — полупроизведение катетов.
В прямоугольном треугольнике: $\sin = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}$ , $\cos = \dfrac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$ , $\mathrm{tg} = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$ ; теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$ .
Равнобедренный треугольник: углы при основании равны, высота к основанию — сразу и медиана, и биссектриса.
Медианы делятся точкой пересечения 2:1 от вершины; средняя линия параллельна стороне и равна её половине.
Синус тупого угла равен синусу смежного острого: $\sin 120° = \sin 60°$ ; косинус тупого отрицателен.

Типичные ошибки

Путают, какой катет противолежащий, а какой прилежащий — отмечайте угол на чертеже.
В площади через синус берут стороны, между которыми НЕ этот угол.
Забывают минус у косинуса тупого угла.

Теоремы синусов и косинусов

Теорема косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$ ; отсюда $\cos\alpha = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ .
Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma} = 2R$ — последнее равенство сразу даёт радиус описанной окружности.
Косинусов — когда даны две стороны и угол между ними или все три стороны; синусов — когда даны сторона и два угла или нужен $R$ .
Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы; стороны относятся как $1:\sqrt3:2$ .

Разобранные примеры

Катеты прямоугольного треугольника равны

6

и

8

. Найдите радиус вписанной окружности.разбор

Ответ:

2

Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковыми сторонами

5

и основанием

6

.разбор

Высота к основанию делит его пополам: получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой $5$ и катетом $3$ .
Высота $=\sqrt{25-9}=4$ .
$S=\dfrac{6\cdot4}{2}=12$ .

Ответ:

12