Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора — теория ОГЭ по математике, задания 15, 23, 24, 25

Строение и теорема Пифагора

Стороны прямоугольного треугольника: катеты (при прямом угле) и гипотенуза (против прямого угла). Гипотенуза — самая длинная сторона.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$ .
Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2,$ где $c$ — гипотенуза, $a, b$ — катеты.
Катет, лежащий против угла $30^\circ$ , равен половине гипотенузы.
Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.

Синус, косинус, тангенс

$\sin\alpha = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$ , $\;\cos\alpha = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$ , $\;\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$ .
Основное тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ .
Табличные значения для $30^\circ$ , $45^\circ$ , $60^\circ$ стоит знать наизусть: например, $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ , $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$ .

Типичные ошибки

Применяют Пифагора к НЕпрямоугольному треугольнику.
Путают, что возводится в квадрат: гипотенуза одна слева, катеты — справа.
Ищут $\sin$ через прилежащий катет — противолежащий и прилежащий определяются относительно выбранного угла.

Углы 30, 45, 60

Катет, лежащий против угла $30^\circ$ , равен половине гипотенузы — и обратно: если катет вдвое меньше гипотенузы, против него угол $30^\circ$ .
В треугольнике с углами $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ стороны относятся как $1 : \sqrt3 : 2$ .
В равнобедренном прямоугольном ( $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ ) — как $1 : 1 : \sqrt2$ .

Разобранные примеры

Катеты прямоугольного треугольника равны

9

и

12

. Найди гипотенузу.разбор

Ответ:

15

Гипотенуза равна

13

, один катет равен

5

. Найди второй катет.разбор

Ответ:

12