Треугольник

Подобие треугольников

Атанасян «Геометрия 7–9», § 58–61

Определение и признаки

Треугольники подобны, если углы одного равны углам другого, а стороны пропорциональны: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} = k$ (коэффициент подобия).
Первый признак: по двум равным углам.
Второй признак: по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними.
Третий признак: по трём пропорциональным сторонам.
Отношение периметров подобных треугольников равно $k$ , отношение площадей — $k^2$ .

Как решать

Ищи два равных угла — это самый частый способ доказать подобие (особенно с параллельными прямыми: накрест лежащие углы!).
Записывай отношение сторон строго по соответственным вершинам, иначе перепутаешь пары.
Классика: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает подобный треугольник.

Разобранные примеры

Треугольники подобны с коэффициентом

k = 3

. Сторона меньшего равна

4

. Найди сходственную сторону большего.разбор

Ответ:

12

В треугольнике

ABC

проведена средняя линия

MN \parallel AC

. Площадь

ABC

равна

36

. Найди площадь треугольника

BMN

.разбор

Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом $k = \tfrac{1}{2}$ .
Площади подобных фигур относятся как $k^2 = \tfrac{1}{4}$ .
$36 \cdot \tfrac{1}{4} = 9$ . Именно $k^2$ , а не $k$ — здесь теряют балл чаще всего.

Ответ:

9